Grenzwert einer Folge/Reihe

05.10.2010, 14:08

blDraX

Grenzwert einer Folge/Reihe

Hallo zusammen,

ich stehe momentan am Ende einer ziemlich langen Aufgabe, bei der es darum geht, den Grenzwert eines Streckenzugs in einem Dreieck zu berechnen:

http://img63.imageshack.us/img63/898/mathe.gif

Ich bin über Seitenverhältnisse / Strahlensätze letztendlich auf folgende Reihe gekommen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_{n} + 5,4\cdot 0,64^{n} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a_{0} = 5,4 \end{eqnarray*}$

bzw. als Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 5,4 \cdot \left(0,64^{0} + 0,64^{1} + 0,64^{2} + ... + 0,64^{n} \right) \end{eqnarray*}$

So weit so gut, ich gehe einfach mal davon aus, dass ich mich nirgendwo vertan habe, falls doch, ist das auch nicht der Punkt.

Meine Frage ist nämlich: Wie kann ich von solch einer Folge/Reihe den Grenzwert bestimmen? Mit meinem programmierbaren Rechner ist recht einfach rauszukriegen, dass der Grenzwert wohl bei 15 liegt. Aber ohne?

Ist die Aufgabe denn so überhaupt nicht gedacht? Meint ihr, ich bin irgendwas ganz falsch angegangen?

Danke schonmal für eure Hilfe.

05.10.2010, 14:16

schultz

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RE: Grenzwert einer Folge/Reihe

Zitat:

Original von blDraX

bzw. als Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 5,4 \cdot \left(0,64^{0} + 0,64^{1} + 0,64^{2} + ... + 0,64^{n} \right) \end{eqnarray*}$

das kannst du als geometrische reihe betrachten, nämlich $\begin{eqnarray*} 5,4 \cdot \sum\limits_{k=0}^n (0,64)^k \end{eqnarray*}$ .
diese reihe konvergiert für $\begin{eqnarray*} n-->\infty \end{eqnarray*}$ .
ist dir die geometrische reihe ein begriff?

05.10.2010, 15:22

blDraX

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RE: Grenzwert einer Folge/Reihe
Jein. Ich habe sie nochmal nachgeschlagen und die Formel für den Grenzwert, gegen den eine geometrische Reihe konvergiert, gefunden. Eingesetzt, ausgerechnet, passt wunderbar, in sofern vielen Dank!

Wirklich verstanden habe ich die Formel jedoch nicht. Ich schätze, da muss ich mich nochmal wenn ich mehr Zeit habe genauer damit beschäftigen.

05.10.2010, 15:39

schultz

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freut mich dir geholfen zu haben smile

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