Q(i) - was ist das?

06.10.2010, 00:27

Manuel_

Q(i) - was ist das?

Hallo,

ich komme mit einer Notation aus einem Algebra-Buch nicht zurecht. Was meint man mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (i) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist der Körper der rationalen Zahlen und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ die imaginäre Einheit.

Das ist wohl ein Ring, aber wie sieht der genau aus?
Was ist der Unterschied zwischen eckigen und runden Klammern?

Thanks!

Ciao,
Manuel

06.10.2010, 00:40

gonnabphd

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Hi,

Ich glaube $\begin{eqnarray*} K[a] \end{eqnarray*}$ bezeichnet normalerweise den Ring, den man erhält, wenn man das Element a adjungiert und $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Quotientenkörper davon.

Gruss Wink

06.10.2010, 01:17

gitterrost4

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Also wir hatten als adjungieren die runden Klammern. Also bei uns war $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i)=\{a+bi|a,b\in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$

06.10.2010, 01:27

Manuel_

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Hallo,

danke, aber jetzt hab ich zwei verschiedene Meinungen gehört...

Wie ist das denn standardmäßig festgelegt?
.... Oder kann das wirklich jeder so definieren wie er wll?!

06.10.2010, 01:37

gitterrost4

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Kannst du vielleicht einen Kontext angeben? Dann koennen wir versuchen herauszufinden, was gemeint ist.

06.10.2010, 01:41

gonnabphd

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Hmm, in diesem Falle ist in "meiner" Notation ja sowieso

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q [i] = \mathbb Q (i) \end{eqnarray*}$

von daher sind die Aussagen nicht widersprüchlich...

06.10.2010, 01:45

gitterrost4

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Das stimmt, aber fuer das generelle Verstaendnis, waere es vielleicht trotzdem gut, das zu klaeren. Aber ich nehme an, wenn es zwei verschiedene Klammern gibt, dann wird deine Notation die richtige sein.

06.10.2010, 01:57

gonnabphd

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Ich habs kurz hier nachgeschaut. Seite 423 (6.6) da macht er's so wie ich das auch gelernt habe (habe meine Notation übrigens nicht aus diesem Buch).

Wink

06.10.2010, 10:22

Manuel_

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Der Kontext ist der, dass eine Normfunktion, die sogenannte Standardnorm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ , definiert wird durch $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Q(i) \to \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=x \bar{x} \end{eqnarray*}$ , wobei dazu gesagt wird, dass die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ stets möglich ist.

M. Artin schreibt ja, dass $\begin{eqnarray*} K(x) \end{eqnarray*}$ der Körper der rationalen Funktionen ist, wenn $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ der gewöhnliche Polynomring ist, aber ich hab es ja hier nicht mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(x) \end{eqnarray*}$ zu tun, sondern mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ ein Körper oder nur ein Ring?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ ausschreiben will, sieht das dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) = \mathrm{Quot}(\mathbb Q[i]) = \left \{ \tfrac{f(x)}{g(x)} | \ g(x)\neq 0 \text{ und } f,g \in \mathbb Q[i][x] \right \} \end{eqnarray*}$

Wink

06.10.2010, 10:41

gonnabphd

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Oh, dann war der Link wohl nicht so ganz perfekt...

Also nochmal: In jedem Falle ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ ein Körper (selbst wenn man nur den Ring betrachtet, den man erhält, wenn man i adjungiert ist dieser Ring schon ein Körper...)

06.10.2010, 11:22

system-agent

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Zitat:

Original von Manuel_
M. Artin schreibt ja, dass $\begin{eqnarray*} K(x) \end{eqnarray*}$ der Körper der rationalen Funktionen ist, wenn $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ der gewöhnliche Polynomring ist, aber ich hab es ja hier nicht mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(x) \end{eqnarray*}$ zu tun, sondern mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ .

Im Prinzip hast du es schon mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(x) \end{eqnarray*}$ zu tun. Genauer ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ das Bild des Homomorphismus
$\begin{eqnarray*} g: \mathbb Q(x)\to\mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ und der ist definiert durch $\begin{eqnarray*} g(q)=q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=i \end{eqnarray*}$ [sprich er setzt überall $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein].

Also ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i)=\left\{\frac{h_1(i)}{h_2(i)}\,\,:\,\,h_1,h_2\in \mathbb Q[x]\right\} \end{eqnarray*}$ . Man kriegt die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ indem man ein beliebiges Polynom in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nimmt und dieses durch $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ teilt und danach $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ einsetzt. Überlegt man sich das weiter, kommt man genau darauf, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i)=\{a+bi\,\,:\,\,a,b\in\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$
[sprich bei der Polynomdivision kann man alle höheren Potenzen als 2 eliminieren].

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