Stetigkeit aus einseitig lipschitz?

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werweißdas Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit aus einseitig lipschitz?
Hi Leute,
wir haben in Analysis gelernt, dass aus der globalen Lipschitz-Eigenschaft schon Stetigkeit einer Funktion f folgt. Nun frage ich mich, ob man das aus der einseitigen Lipschitz-Eigenschaft

auch irgendwie folgern kann? Ich sehe im Moment nicht wie und vermute nein. Hat viell. jemand 'ne Idee?
Gruss
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

Gegenbeispiel





wobei die Dirichlet-Funktion ist.

Wink
werweißdas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Bin mir nicht ganz sicher, ob ich's richtig verstanden hab: Also f ist eins. lipsch., falls c>0. Wegen der Eigenschaft der Dirichlet-Funktion ist f aber in der 1. Komponente nirgends stetig, also reicht einseitig lipsch. nicht.
Rein theoretisch könnte c ja auch negativ sein, oder?
Gruss und thx
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wegen der Eigenschaft der Dirichlet-Funktion ist f aber in der 1. Komponente nirgends stetig, also reicht einseitig lipsch. nicht.


Ja, genau. Ich hatte nur den Fall c>0 betrachtet. (ich kannte den Begriff der einsitigen Lipschitz-stetigkeit gar nicht, deshalb hatte ich das implizit angenommen...)

Zitat:
Rein theoretisch könnte c ja auch negativ sein, oder?


Das stimmt, und in diesem Fall müsste man sich dann wohl ein anderes Beispiel ausdenken. Eventuell folgt dann ja sogar Stetigkeit?

Versuch' mal ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Du könntest den Vektor ja mal ganz nach hinten drehen (so dass er in die negative Richtung zeigt) und anstatt der Dirichletfunktion die Dirichletfunktion + Konstante nehmen oder so....
werweißdas Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke,
werde nochmal drüber nachdenken, aber eigentlich müsste sich ein Beispiel finden lassen, denn im Prinzip ist es ja strukturell dasselbe, egal ob die Konstante positiv oder negativ ist...Nur das 0-Argument funzt dann nicht...
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja, genau. Ich hatte nur den Fall c>0 betrachtet. (ich kannte den Begriff der einsitigen Lipschitz-stetigkeit gar nicht, deshalb hatte ich das implizit angenommen...)

ist doch nicht anderes als starke Monotonie von .
[attach]16211[/attach]
(In obiger Definition muss sein!)

Demnach müssten schon sowas Einfaches scheitern.
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Aber Cugu....

Das ist doch viel zu einfach. Gegenbeispiele sollten schwer verständlich und weit hergeholt sein! Big Laugh
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gegenbeispiele sollten schwer verständlich und weit hergeholt sein!

Klar, deswegen habe ich zur Motivation ja auch monotone Operatoren eingeführt, spreche von reflexiven Banachräumen und verwende den topologischen Dualraum.

Wenn man damit heutzutage keinen Analysis- und DGL-Studenten mehr verunsichern könnte, wäre das Forum längst dicht... Tanzen
werweißdas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Den Begriff der monotonen Operatoren kannte ich wiederum nicht, aber ich sehe jetzt trotzdem nicht ganz, warum das ein Gegenbeispiel ist?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, eine Funktion ist doch stetig, wenn sie in allen Punkten ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Mein Beispiel ist nun

mit .

Diese Funktion müsste die einseitige Lipschitz-Bedingung erfüllen, denn ist wie man sehen kann stark monoton.
Wer der Zeichnung nicht traut:
Es gilt bzw. für .
werweißdas Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe jetzt eingesehen, dass die Funktion eins. lipschitz, aber nicht stetig ist, danke für eure Hilfe :-)
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