Treppenfunktionen in L^p Räumen

06.10.2010, 10:43

sergej88

Treppenfunktionen in L^p Räumen

Hallo,

ich arbeite gerade einige Beweise auf, jedenfalls habe ich zuerzeit ein Problem mit folgender Argumentation:

Seien $\begin{eqnarray*} 1\leq p_0,p_1 \leq \infty \end{eqnarray*}$ sowie setze: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} = \frac{1-\Theta}{p_0} + \frac{\Theta}{p_1} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq \Theta \leq 1 \end{eqnarray*}$

Dann haben wir folgende Abschätzung:
$\begin{eqnarray*} ||f||_{L^p} \leq ||f||_{L^{p_0}}^{1-\Theta} ||f||_{L^{p_1}}^{\Theta}, \forall f \in L^{p_0} \cap L^{p_1} \end{eqnarray*}$
dabei ist dieser Schnitt dicht in $\begin{eqnarray*} L^p, 1\leq p < \infty \end{eqnarray*}$ .
(Hier sind allgm. Maßräume als Grundmenge für L gemeint.)

Den ersten Teil habe ich aus der Hölder Ungleichung raus.
Beim 2ten bin ich nicht so bewandert mit Maßtheorie und habe da so meine SChwierigkeiten:

"Der Schnitt enthält die integrierbaren Treppenfunktionen"
ISt als Lösung angegeben.

ICh weiss Treppenfunktionen approximieren ja messbare Funktionen und somit bilden diese eine dichte Teilmenge des dazugehörigen L-Raumes.
Und wieso geht das nicht für p = unendlich ? Ich vermute es hängt mit der Norm zusammen.
Angenommen ich nehme die dichte Teilmenge der Treppenfunktionen bei p_0 und eine weitere bei p_1. Wenn ich diese schneide wieso liegt diese dann noch dicht im Schnitt bzw. sogar in L^p selbst?

mfg

06.10.2010, 10:54

Sly

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Wie sehen denn integrierbare Treppenfunktionen aus? Das sind Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} f = \sum_{i=1}^n \lambda_i \chi_{A_i} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ Skalare sind und $\begin{eqnarray*} A_1,\dots, A_n \end{eqnarray*}$ sigma-endliche Teilmengen sind.

Nun stelle dir mal die Frage: Finde ich die in allen $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ -Räumen?

06.10.2010, 12:18

gonnabphd

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Zitat:

und $\begin{eqnarray*} A_1,\dots, A_n \end{eqnarray*}$ sigma-endliche Teilmengen sind.

Woher kommt denn das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ? Ich wäre ja eher für Teilmengen endlichen Masses (sofern das zugehörige $\begin{eqnarray*} \lambda_i \ne 0 \end{eqnarray*}$ ist.

06.10.2010, 12:33

Sly

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Ja stimmt, das meinte ich auch. Hab den falschen Begriff benutzt. Danke für den Hinweis!

06.10.2010, 12:51

sergej88

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Eigentlich bin ich davon ausgegangen, dass sich diese Funktionen in jedem Raum befinden, denn:

Die Summe ist endlich und sofern die Mengen endliches Maß haben geht ja nichts schief:
$\begin{eqnarray*} ||\psi||_{L^p}^p = \int \limits_{\mathbb{R}^n}|\psi|^pd\sigma = \sum \limits_{k=1}^{n}|\lambda|^p\sigma(A_k) < \infty \end{eqnarray*}$

06.10.2010, 14:00

gonnabphd

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Jo, das denke ich auch. D.h. wenn $\begin{eqnarray*} f \in L^p \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es eine Folge von Treppenfunktionen die gegen f konvergiert. Und alle solchen Treppenfunktionen liegen auch in $\begin{eqnarray*} L^{p_1} \cap L^{p_2} \end{eqnarray*}$ , damit ist schon alles gezeigt.

Wink

06.10.2010, 15:49

sergej88

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Ja soweit war ich gekommen nur ist es schön bestätigung zu bekommen smile

Die Treppenfunktionen liegen im Schnitt somit auch wegen der Ungleichung auch in L^p im obigen Sinne. Damit ist der Abschluss ganz L^p.

Aber woran scheitert es für p = infty?

Ich meine die Treppenfunktionen liegen ja auch dort, da diese nur eine endliche Summe sind. Es muss ja damit zusammenhängen, dass man bezüglich des essentiellen Supremums keine solche Approximation garantieren kann.

ICh merke, dass mir einige Masstheoretische Grundlagen fehlen, werde diese bald nachholen müssen.

06.10.2010, 16:13

gonnabphd

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Das Problem bei $\begin{eqnarray*} L^\infty \end{eqnarray*}$ ist, dass die Treppenfunktionen dort nicht dicht liegen.

z.B. $\begin{eqnarray*} 1 \in L^\infty \end{eqnarray*}$ , aber für jede Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} || 1 -\psi ||_\infty \geq 1 \end{eqnarray*}$

Der Abschluss von der Menge der Treppenfunktionen in $\begin{eqnarray*} L_\infty \end{eqnarray*}$ ist nämlich der Raum derjenigen Funktionen, welche im Unendlichen verschwinden.

D.h. die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für die es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ eine kompakte Menge K gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(x) < \epsilon \quad \forall x \; \notin K \end{eqnarray*}$

06.10.2010, 17:26

sergej88

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Danke,

jetzt bin ich sicher, dass ich das Argument geblickt habe.
Aber auf sowas hätte ich ja wohl selbst kommen können....

mfg

06.10.2010, 18:10

gonnabphd

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Ahh, ich muss mich korrigieren. Ich hab etwas mit dem "im Unendlichen verschwinden" einfach abgeändert, aber das stimmt gar nicht...

Wenn du Lust hast: Aufgabe: Weshalb stimmt folgendes nicht?

Zitat:

[PHP]
Der Abschluss von der Menge der Treppenfunktionen in $\begin{eqnarray*} L_\infty \end{eqnarray*}$ ist nämlich der Raum derjenigen Funktionen, welche im Unendlichen verschwinden.

D.h. die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für die es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ eine kompakte Menge K gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(x) < \epsilon \quad \forall x \; \notin K \end{eqnarray*}$

Findest du ein Gegenbeispiel?

06.10.2010, 18:21

sergej88

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ich denk drüber nach

06.10.2010, 18:49

sergej88

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Also ich habe folgenden Satz im Anhang gefunden:

Ist f beschränkt und meßbar, so gibt es eine Folge von Treppenfunktionen welche gleichmäßig gegen f konvergiert.

Demnach ist doch der Abschluss der Treppenfunktionen doch $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$
Ausserdem habe ich dieses Argument schonmal benutzt um zu zeigen, dass der Dualraum zu L^1 der L^{\infty} für sigma-endliches Maß ist. Den Speziallfall davon findet man im D. Werner zusammen mit dem Abschluß-Argument.

Scheint wohl doch etwas nicht ganz zu passen. Dabei klang es so schön.

mfg

06.10.2010, 20:30

gonnabphd

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Hmm, also das hängt jetzt definitiv an der Definition von Treppenfunktion...

Aber selbst mit einer alternativen Definition davon lässt sich das Argument noch anwenden. Denn jede Treppenfunktion, welche 1 gleichmässig approximiert, kann nicht in $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} p<\infty \end{eqnarray*}$ liegen.

Wie definiert denn der Werner Treppenfunktionen?

06.10.2010, 21:11

sergej88

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So,

sorry ich musste davor weg und habe das Argument nicht zu ende gedacht.

Die 1 kann ja nur dann gleichmäss. approximiert werden wenn der Raum endliches Maß hat. Also beschränkte Intervalle oder ähnliches.

Und der von mir benutzte Satzt benutzt eben dieses als Vorraussetzung, da ist wohl der Fehler meinerseits.

Und der Beweis des Dualraumes wo das Argument ebenso benutzt wurde setzte vorraus, dass der Raum endliches Maß hatte. Den allgemeinen Fall hat man dort den Lesern überlassen....

Zur Frage wie TPFKT definiert werden: genauso wie hier.

Kommen wir nun zu:
Findest du ein Gegenbeispiel?

Wie wäre es mit:

Sei f eine Funktion mit den von dir gegebenen Eigenschaften und $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$
Nehme jetzt die Kompakte Menge K (also insb. endliches Maß) für dieses Epsilon mit:
$\begin{eqnarray*} f(x) < \varepsilon, x \not \in K \end{eqnarray*}$
Da f meßbar sein soll gibt es eine Folge von Treppenfunktionen welche gegen f pkt. konvergiert. Auf K konvergiert diese sogar gleichmässig (endl. Maß).
Multiplizieren wir diese mit der Indikatorfunktion auf dem Komplement von K
so folgt die gleichmässige Konvergenz der neuen Treppenfkt.

Denn ausserhalb von K ist der Abstand kleiner Epsilon und innerhalb auch. Dementsprechend auch der Normabstand.

Also muss der Abschluss doch mindestens diese Funktionen enthalten.

Bei dem Argument, wo ich Behaupte, dass die Treppenfkt auf K gleichmäßig konv. bin ich mir unsicher. So steht es Wort für Wort zwar nicht drin, aber ich finde es macht Sinn.

Glaube ich werde nächste Woche mir ein Maßtheoriebuch ausliehen, wollte ich eh schon lange machen...

Guten Abend

07.10.2010, 18:48

Sly

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Bei solchen Argumenten, gerade bei diesem Gegenbeispiel, immer aufpassen, wenn man Funktionswerte einsetzt oder von gleichmäßiger Konvergenz spricht...! Da gehört eigentlich hinter jede Aussage ein " $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall" hin.

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