Untergruppen einer zyklischen Gruppe

06.10.2010, 14:07

fin

Untergruppen einer zyklischen Gruppe

Hallo,
ich bin neu hier und habe gleich eine Frage. Ich versuche gerade die Untergruppen der zyklischen Gruppe C12={0,1,...11} zu finden. In meinem Skript steht, alle Cn mit n teilt 12 wären solche Untergruppen.
Als Gruppenstruktur haben wir die Addition modulo 12.
1. Sind das dann auch schon alle? Und wenn ja, wie kann ich das zeigen?
2. Wir haben die kleinste Untergruppe von C12, die r enthält als <r> definiert.
Und wir haben als Bemerkung festgehalten, dass <x,y>=<ggT(x,y)>.

Als Beispiel dazu haben wir (immer noch in der c12):

<8,6>={0,8,4,6,2,10}=<2>
Die Geschwungene Klammer verstehe ich glaube ich. <8,6> ist die kleinste Untergruppe von C12, die 6 und 8 enthält. 6 und 8 müssen also drin sein. Da es eine Untergruppe ist ebenso die "1" in C12, das ist hier 0. Ebenso die Inversen von 8 und 6, das ist 4 und 6. Da eine Untergruppe abgeschlossen ist, müssen nun aber auch 8+6 modulo 12=2 und 6+4 modulo 12= 10 in der Untergruppe sein. 10 und 2 sind wiederum invers zueinander und mit diesen Elementen ist die Gruppe abgeschlossen.
So weit richtig?

Wenn ich mir jetzt aber <2> angucke, komme ich nicht auf die gleiche Menge.
Wo liegt mein Fehler?
0 und 2 müssen wieder drin sein. 10 als Inverses von 2 auch. Ist aber nicht schon {0,2,10} die kleinste Untergruppe von C12, die 2 enthält?

Außerdem haben wir in einer Bemerkung festgehalten, dass <r> isomorph ist zu Cn mit
$\begin{eqnarray*} n=\frac{m}{ggT (m,r)} \end{eqnarray*}$
für
$\begin{eqnarray*} r\in m \end{eqnarray*}$

Sind so dann die Untergruppen Cn der C12 zu verstehen? Als isomorphe Untergruppen der C12?
Dann würden die Untergruppen so aussehen?

1 teil 12, 2 teilt 12,...6 und 12 teilt 12.
Also sind C1, C2, C3, C4, C6 und C12 die Untergruppen von C12, denn
C1 isomorph zu <12>=?
Genau hier weiß ich dann wieder nicht weiter. Ich würde sagen <12>={0,12}. Stimmt das?
C2 isomorph zu <6>={0,6}
C3 isomorph zu <4>={0,8,4}
C4 isomorph zu <3>={0,3,9}
C6 isomorph zu <2>={?? (s.o.)}
C12 isomorph zu <1>={0,1,11}

Aber so kann das ja nicht stimmen?

Außerdem bin ich irritiert, weil die zyklische Gruppe in meinen Büchern als Gruppe definiert ist, die von einem ELement erzeugt wird. Ist das hier dann <1>?

Könnt ihr mir weiterhelfen?

06.10.2010, 14:24

kiste

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RE: Untergruppen einer zyklischen Gruppe
<x> ist die kleinste Untergruppe die x enthält. Schreibe wir die Verknüpfung additiv(üblich bei abelschen Gruppen) so bedeutet das dass alle Summen und Differenzen von x in der UG sind.

Deine restlichen Fragen sollten sich alle klären wenn du das beachtest.

So ist also bspw. in C12 <2>={0,2,2+2,2+2+2,2+2+2+2,2+2+2+2+2} (danach hört es auf weil 6*2 = 12 = 0 in C12)

Zitat:

Original von fin
Außerdem haben wir in einer Bemerkung festgehalten, dass <r> isomorph ist zu Cn mit
$\begin{eqnarray*} n=\frac{m}{ggT (m,r)} \end{eqnarray*}$
für
$\begin{eqnarray*} r\in m \end{eqnarray*}$

Schaue dir dazu mal den kgV an und interpretiere dessen Bedeutung.

06.10.2010, 14:32

fin

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Ok, ich glaube, ich habe einen ersten Fehler entdeckt:

Betrachten wir wieder <2>
Dann muss nicht nur 2+10 modulo 12= 0, sondern auch 2+2 modulo 12=4 und 10+10 modiulo 12= 8 drin sein, somit auch 2+4 modulo 12= 6, 10+4 modulo 12=2
10+6 modulo 12=4, 6+2 modulo 12=8.
Somit:
<2>={0,2,4,6,8,10}
Und somit auch <1>={0,1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6}=C12

Und somit erzeugt 1 die C12.
Und C1,... C12 sind die Untergruppen der C12 (bis auf Isomorphie).

ISt das soweit richtig?

06.10.2010, 14:37

kiste

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Zitat:

Original von fin
Und C1,... C12 sind die Untergruppen der C12 (bis auf Isomorphie).

Das ist zu ungenau.

Übrigens wäre auch 5,7 oder 11 ein Erzeuger der C12

06.10.2010, 14:57

fin

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RE: Untergruppen einer zyklischen Gruppe
Danke für deine Hilfe, Kiste!

Zitat:

Original von kiste

Schaue dir dazu mal den kgV an und interpretiere dessen Bedeutung.

Hm, ich bin mir nicht sicher, wie.
Das kgV ist entweder 12 (wenn r 12 teilt) oder aber größer als 12 und dann gil <r> erzeugt C12, da dann der ggT von r und 12 1 ist.

Aber das hilft mir nicht weiter, zu verstehen warum <r> isomorph zur Cn.

Nochmal zu den Untergruppen:

(" $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ " soll jetzt Ismorph bedeuten)

$\begin{eqnarray*} C1\equiv <12>={0,12} \end{eqnarray*}$ (Hm, das geht nicht, weil 12 nicht in C12 ist. Aber ich finde kein r in C12, dessen ggt it 12 12 ist.??)
$\begin{eqnarray*} C2\equiv<6>={0,6} C3\equiv<4>={0,4,8} C4\equiv<3>={0,3,9,6} C6\equiv<2>={0,2,4,6,8,10} C6\equiv<2>={0,2,3,6,8,10} C12\equiv<1>={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

06.10.2010, 15:44

fin

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Also, mir ist klar, dass man eine Bijektion von <r> nach Cn finden kann. Nur, dass das dann auch schon ein Homomorphiskus ist, ist mir nicht ganz klar. Werde mir das jetzt noch mal genauer hinschreiben.

Danke schon mal!

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