Lineare (Un)abhängigkeit? |
| 06.10.2010, 15:12 | KeinerVorhanden | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| Lineare (Un)abhängigkeit? Ich wüsste gerne, ob ich die Thematik richtig verstanden habe, denn trotz des Lesens von 3 Internetseiten bin ich mir noch sehr unsicher: 1.) Linear unabhängig sind zwei Vektoren wenn sie parallel sind. D.h. ich habe z.B.: einen Vektor a, dessen Punkt A die Koordinaten A(1;2) besitzt. Ein Vektor b ist nun dieser Vektor a um, sagen wir, eine LE nach rechts verschoben. Sind die beiden abhängig? Denn mit "a + (-b)" könnte ich ja auf den Ursprung zurückleiten, sprich "a + (-b) = 0(Vektor)" ? 2.) Linear unabhängig wären dann zwei Vektoren die zwar beim Ursprung beginnen, aber verschiedene Endpunkte haben. Denn die beiden lassen sich nicht auf 0 zurückführen? 3.) Linear abhängig heißen 3 Vektoren wenn sie in einer Ebene sind, d.h. eigentlich auch in einem 2-Dimensionalen Raum zu zeichnen wären? Und letztendlich kann ich dann den Vektor c als Summe der Vektoren a und b beschreiben usw.? 4.) Linear unabhängig sind 3 Vektoren, wenn von den 3 Vektoren einer in einer anderen Ebene ist. Es können aber auch alle 3 in verschiedenen Ebenen seien? Also "Linear abhängig" bedeutet letztendlich, dass ich mit der Summe dieser Vektoren nicht jeden beliebigen Punkt in einem Raum finden kann. Bei unabhängigen Vektoren hingegen kann ich durch Addition der jeweiligen Vektoren (mit Multiplikation selbiger) jeden Raum beschreiben? Im Buch steht noch etwas von "k1v1 + k2v2 + k3v3 ... = 0" wenn "k1=k2=k3...=0" wäre das Anzeichen für lineare Unabhängigkeit? Also heißt das quasi, dass ich bei Addition von z.b. 3 Vektoren (a,b,c) nur dann eine lineare Unabhängigkeit vorliegen habe, wenn die Summe 0 ergibt, wenn die Koeffizienten gleich null sind? Also 0*a + 0*b + 0*c = 0. Dann würde ich jeden Vektor auf einen "Punkt" (=Ursprung) schrumpfen lassen? Und 3 abhängige Vektoren würden dann auch 0 ergeben, wenn ich z.b. 2*a + b - c = 0 festlegen könnte? Meine Ideen: Ich bedanke mich für die Hilfe 
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| 06.10.2010, 16:23 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
RE: Lineare (Un)abhängigkeit?
das ist so nicht ganz richtig, denn wenn ich zum beispiel den vektor (1,2) um 1 einheit auf der x-achse verschiebe so eralte ich den vektor (1,0)+(1,2)=(2,2), und die vektoren (1,2) und (2,2) sind sicherlich linear unabhängig. stell dir einfach erst mal vor, dass jeder vektor im ursprung beginnt, die vektoren, die linear abhängig sind unterscheiden sich erst mal nur in ihrer länge, gehen aber in die gleiche richtung. du kannst auch sagen, dass zwei geraden, die parallel zueinander sind linear abhängige richtungsvektoren haben, das ist aber etwas anderes....
zwei vektoren sind linear unabhängig, wenn einer nicht das vielfache des anderen ist, also wenn sie in verschiedene richtungen gehen, die vektoren (1,1) und (2,2) haben auch verschiedene endpunkte, aber (2,2)=2*(1,1), sie gehen also in die gleiche richtung.
3 vektoren können auch linear abhängig sein, wenn sie auf einer geraden liegen, wenn die drei in einer ebene liegen, so sind sie paarweise linear unabhängig, soll heißen, man kann zwei vektoren aus den dreien beliebig wählen und diese beiden sind linear unabhängig, der dritte ist dann linear abhängig von den beiden.
auch das ist nicht ganz richtig, jeweils zwei von ihnen müssen schon mal in einer ebene liegen, denn es werden zwei benötigt, um eine ebene aufzuspannen, der dritte liegt außerhalb der ebene.
nein, siehe dazu auch meine vorherigen posts, eir betarchten den dreidimensionalen raum und die vektoren (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), diese sind paarweise linear unabhängig und liegen alle in einer ebene, ich kann den punkt (1,1,1) nicht als linearkombination der drei vektoren darstellen, also auch nicht alle punkte im dreidimensionalen reellen raum darstellen, sondern nur alle punkte, die in der ebene liegen (wenn du diesen unterraum - also die ebene im R^3 - meinst, dann ist mein beitrag überflüssig). die beiden vektoren (1,0,0) und (0,1,0) sind linear unabhängig, aber auch mit ihnen kann ich nur die punkte in besagter ebene beschreiben. man sieht, man kann also sowohl mit linear abhängigen und linear unabhängigen vektoren nicht immer zwangsläufig den ganzen raum beschreiben (drei linear unabhängige vektoren im dreidimensionalen tun dies) zwei stichwörter hier zu: erzeugendensystem und basis.
hier reicht es schon, wenn mindestens ein koeffizient 0 ist, und das ist die definition von linearer unabhängigkeit. der nullvektor ist nur trivial darstellbar, also alle koeffizienten sind 0. ich habe noch nicht ganz verstanden, was du damit meinst "jeden vektor auf den ursprung schrumpfen zu lassen" |
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| 06.10.2010, 16:23 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
RE: Lineare (Un)abhängigkeit?
genau dann sind sie linear abhängig...aber war glaube nur ein schreibfehler von dir oder?
dass muss nicht zwangsläufig stimmen...betrachte doch mal und , sind die linear unabhängig?
das kann man so sagen
bei 3 vektoren sind 2 zwangsläufig immer in einer ebene...
das ist korrekt.zumindest wenn du mit "multiplikation selbiger" vielfache der vektoren meinst.
das stimmt. 3 vektoren sind linear unabhängig, wenn sich durch linearkombination selbiger der nullvektor nur auf triviale weise bilden lässt.(sprich k1=k2=k3=0)
3 vektoren sind linear abhängig, wenn sich durch linearkombination selbiger der nullvektor auf nicht triviale weise bilden lässt.(sprich k1 oder k2 oder k3 0) |
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| 07.10.2010, 00:12 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
RE: Lineare (Un)abhängigkeit?
zuerst einmal ist "genau dann..." hier völlig falsch (das hieße, er ist ausschließlich dann linear abhängig, wenn man ihn um eine längeneinheit verschiebt, und das ist falsch) und zum zweiten ist die aussage nicht korrekt. wenn gemeint ist, dass die richtungsvektoren der geraden und der geraden linear abhängig sind, so stimmt das, wenn ich einen vektor einfach um eine längeneinheit verschiebe, so muss ich den vektor mit der verschiebung addieren, erhalte also einen neuen vektor, der nicht mehr linear abhängig davon ist, siehe auch meinen letzten beitrag (überlegt einfach mal, auf welchen punkt der verschobene vektor zeigt). wie gesagt, die vorstellung, alle vektoren beginnen im ursrung, hilft da weiter, linear abhängige vektoren unterscheiden sich dann nur durch ihren betrag. |
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| 07.10.2010, 00:33 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
die betonung lag auch eher auf dem lineat ABHÄNGIG, und nicht auf dem genau dann... habe garnicht gesehen dass du schneller geantwortet hattest als ich. @KeinerVorhanden: halte dich also an Igrizus angaben, diese sind ausführlicher und augenscheinlich auch genauer. @Igrizu: thanks dass du mich auf die ungenauigkeit hingewiesen hast |
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| 07.10.2010, 07:12 | KeineAngaben | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Guten morgen und vielen Dank für die ausführliche Erklärung! (Das bei 1.) war tatsächlich ein Tippfehler, ich meinte natürlich zuerst die Abhängigkeit!) Zu dem "Buchausschnitt": Mit "zurückschrumpfen" meinte ich, dass doch durch die Koeffizienten kn = 0 jeder Vektor auf einen Nullvektor verkürzt wird? Wieso langt es denn, dass nur ein Koeffizient = 0 ist? (könntest du mir bitte ein Beispiel dazu geben?) Sonst ist mir jetzt alles verständlich(er) geworden! Danke nochmals |
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| 07.10.2010, 09:46 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
entschuldige, ich habe mich da etwas unklar ausgedrückt. ich wollte sagen, dass, wenn ein koeffizient ungleich null ist, die vektoren bereits linear abhängig sind. dass genau ein koeffizient ungleich null ist trift sicherlich nie zu, denn das müsste der von dem nullvektor sein. ich gebe dir mal ein beispiel, nehmen wir mal die vektoren (1,1,1), (2,2,2),(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (4,0,3) und stellen den nullvektor dar: 2*(1,1,1)-1*(2,2,2)+0*(1,0,0)+0*(0,1,0)+0*(0,0,1)+0*(4,0,3). es sind also viele koeffizienten gleich null, jedoch nicht alle, also sind die vektoren linear abhängig. |
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