Jordan Basis

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan Basis
Hallo ihr alle smile

also ich habe ein Problem..
Im Anhang befindet sich meine bisherige Rechnung (ich weiß, dass ich noch die eine oder andere Zeile ergänzen muss). Mein Problem besteht darin, dass ich nicht weiß, wie ich jetzt die Jordan Basis bestimmen kann, ganz am Ende steht, was mir Kommilitonen geraten hatten..aber ich bin mir egtl. sicher, dass es nicht so einfach sein kann... :/

der graue kasten ist ein satz aus meiner vorlesung, der die nachfolgende rechnung legitimiert..^^


in meiner vorlesung habe ich nichts dafür gefunden, und auch in büchern (hab für die lineare algebra nur das buch von jänich und von bosch..) keine gescheiten sätze gefunden, die mir das basis-finden "vorlegen". also mir sagen, wie z.B. die Jordan Basis definiert ist (hilft ja auch schon manchmal um zu wissen, was zu tun..^^)

Habe auch schon die empfohlenen Links und die Forensuche verwendet, aber auch dort wurde ich nicht fündig.

also meine Frage:
Wie bestimme ich bei dem mir gegebenen eine Jordanbasis?



meine Idee:
Ohne jetzt große Versuche angestellt zu haben oder beweise zu führen habe ich eine Idee..

die Basis ist Element des Kerns, vlt. funktioniert ja folgendes:



jetzt suche ich einen Vektor, der diese "erweiterte Koeffizientenmatrix" zu dem Ergebnis führt.

Anschließend mache ich das gleiche mit nur diesmal ist mein Ergebnisraum der Vektor, den ich vorher aufstellte.

wäre das ein geeigneter Weg?


*nachdenk...*
wenn ich richtig denke, sind die vektoren dann auch linear unabhängig und auch elemente des Kerns.. und damit erfüllen sie eigenschaften einer Basis, müssen nun nur noch ein erzeugendensystem aufweisen..

aber jetzt bitte vorschläge smile
liebe grüße und vielen dank schonmal im voraus!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Jordanbasis besteht doch aus den Spaltenvektoren der Transformationsmatrix, oder?
Wie diese sich aus den Hauptvektoren zusammensetzt kann man auf http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform unter Definition nachlesen.

Zitat:
die Basis ist Element des Kerns

Ja, aber du musst statt nehmen!
Zitat:
Anschließend mache ich das gleiche mit nur diesmal ist mein Ergebnisraum der Vektor, den ich vorher aufstellte.

Das funktioniert nicht umbedingt, besser genau anders herum.

Ich würde hier einfach folgendes machen. Du prüfst welcher kanonische Einheitsvektor, nennen wir ihn , nicht im Kern von ist.
Einen solchen muss es aus Dimensionsgründen geben. Gibt es mehrere, hast du freie Auswahl.
(Das hast du übrigens schon gemacht...)
Als Jordankette erhälst du dann .
Dann bestimmst du einen Eigenvektor der von linear unabhängig ist.
Den muss es geben, denn sind nach Wahl von keine Eigenvektoren.

Zur Probe kannst du dann überprüfen, ob tatsächlich
gilt,
wobei ist.

----

Numeriker finden es übrigens besonders lustig die Hauptvektoren, die keine Eigenvektoren sind, mit zu multiplizieren...
Dann erhält man alternativ
.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe jetzt gewählt:



Als nächstes wähle ich einen Vektor wie folgt:



der ist garantiert linearunabhängig zu u1..

rechne nun, der einfachheit halber mit woflramalpha weiter, gebe ich folgendes ein:

code:
1:
(invert{{1,1,0,1},{2,1,0,1},{-1,0,1,1},{-1,0,0,2}}).{{2,1,1,1},{0,4,1,3},{0,-1,2,-2},{0,-1,0,0}}.{{1,1,0,1},{2,1,0,1},{-1,0,1,1},{-1,0,0,2}}



jedoch entspricht das ergebnis nicht dem, welches erwartet wurde.

das heißt, dass ich irgendwas falsch gemacht habe :x

(zu sehen ist halt eine alternierte jordan-normalform..mit 2 falschen einträgen xD)

kannst du mir mitteilen wo mein fehler liegt?

liebe grüße und vielen dank smile
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
kannst du mir mitteilen wo mein fehler liegt?

Ok, das ist einfach.
Zitat:
Dann bestimmst du einen Eigenvektor der von linear unabhängig ist.

Da steht nicht umsonst Eigenvektor. Deine Jordankette stimmt anscheinend, denn die ersten drei Spalten sind richtig.
Die vierte Spalte wird von bestimmt. Ganz offensichtlich gilt nicht
, sondern .
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

ach xD hab ich wohl "überlesen"...^^
hatte nur noch die lineare unabhängigkeit im kopf und senkrechtstehende vektoren erfüllen dies ja smile

so jetz hab ich folgendes ausgerechnet:


da ist direkt zu sehen, dass x definitiv von u1 unabhängig ist.

nun der code für wolframalpha zur kontrolle:
code:
1:
(invert{{1,1,0,0},{2,1,0,-2},{-1,0,1,1},{-1,0,0,1}}).{{2,1,1,1},{0,4,1,3},{0,-1,2,-2},{0,-1,0,0}}.{{1,1,0,0},{2,1,0,-2},{-1,0,1,1},{-1,0,0,1}}



ergebnis ist die jordansche normalform.
muss denn dann wirklich die einheitsmatrix rauskommen, damit die rechnung richtig ist? :O
dann wäre ja:

Mit E=Einheitsmatrix.


Liebe Grüße smile
und vielen dank an dieser stelle nochmal ^^
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ergebnis ist die jordansche normalform

Das ist gut so. Es muss natürlich


gelten und nicht der Quatsch, den ich geschrieben habe. Engel
Ich weiß nicht, wie ihr den Begriff Jordan-Basis definiert habt, aber wenn das eine Basis ist, bezüglich der die darstellende Matrix
der Abbildung Jordan-Normalform hat, dann sollte da auch die Jordan-Normalform herauskommen!

---

Du hast übrigens Recht:
Aus folgt .
Das ist bemerkenswert...
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Super Danke^^ dann hab ichs jetzt gerafft, wie man eine Jordanbasis bildet..^^ in meiner vorlesung hatte ich dazu halt nichts gefunden (war auch nicht immer da..) daher eben hier die frage smile

der thread kann dann
a) ins archiv
b) geclosed werden Big Laugh

liebe grüße und vielen dank nochmal! ^^
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

kleine nebenfrage:
ist das minimalpolynom hier zufällig

?

es gilt ja und m(x) ist teiler von p(x) mit p(x) := charakteristisches Polynom. und Ordnung(m) Ordnung(p)

damit ist die Potenz von m höchstens 4. Und wenn ich richtig gerechnet habe, dann folgt erst bei einer Potenz von 3, dass m(A)=0 ist.

liebe grüße und vielen dank nochmal ^^
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zufällig ist das nicht. Die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom bestimmt die Länge der längsten Hauptvektor-Kette dieses Eigenwerts.

Zitat:
Und wenn ich richtig gerechnet habe, dann folgt erst bei einer Potenz von 3, dass m(A)=0 ist.

Ja, natürlich! Der Lösungsraum von ist nur zwei- und der von ist nur dreidimensional.
Der von ist hingegen der ganze Raum. Deswegen konntest du ja auch mit den kanonischen Einheitsvektoren arbeiten.
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