Mengenlehre: Mindestens 1 Element in binärem Vektor

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SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre: Mindestens 1 Element in binärem Vektor
Meine Frage:
Hallo,

ich möchte gerne eine mathematische Formulierung aus meinem Matlab-Code verfassen.
Leider fällt mir auf anhieb nicht die korrekte Lösung ein.

Ich möchte gerne diejenigen Indizes i eines binären Vektors k definieren, an denen in einem bestimmten Intervall [a,b] in k der Wert 1 auftaucht.

In Matlab: i = any(k(a:b));

Meine Ideen:
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre: Mindestens 1 Element in binärem Vektor
Hi SpeedMix,

Laut Mathworks ist der Rückgabewert von any hier ein Wahrheitswert und Wahrheitswerte werden in der Mathematik gemeinhin nicht in Variablen gespeichert - jedenfalls wenn einigermaßen anwendungsbezogen arbeitet. In der Logik natürlich schon.

Wenn Du an eine Indexmenge interessiert bist, dann kannst Du das vielleicht so schreiben:


Das mit dem Existenzqantor ist quatsch. Der wird nur in Aussagen verwendet und eignet sich nicht zur Definition von Variablen. Wenn Du Dich mit Quantoren nicht grundlegend befasst hast, solltest Du sie eh nicht verwenden. Das führt sonst wie hier zu Verwirrungen und es geht wirklich auch ohne.

Gruß,
Reksilat.

PS: Geschweifte Klammern erzeugt man mit \{ und \}.
 
 
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, Reksilat.

Also ich würde mich eher für den Fall interessieren, bei dem ein "True" zurückgegeben wird. Denn ich werde diese Aussage dann, die hier in unserer Diskussion bestimmt bald entstehen wird, in eine Fallunterscheidung einbringen mit "... falls (<unsere Aussage>)".

Könnte man das so ummodeln?
Also, dass mindestens ein index-wert t in diesem Intervall existieren muss, für den gilt k(t) = 1.

Dankeschöne und viele Grüße
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nenne das doch einfach Fall 1 (es existiert ein solches t) und Fall 2 (sonst). Das sollte in einem Beweis besser zu lesen sein, als einen extra Bezeichner mit irgendeinem Wahrheitswert einzuführen und dann nach dessen Belegung zu unterscheiden.

Gruß,
Reksilat..
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, ich mache das ja in einer Fallunterscheidung (mittels Cases). Nun muss das ja allerdings mathematisch ausgedrückt werden. Und daher meine Frage :-)
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke!

Meine Fragen:
- muss der Ausdruck nach "wenn" nicht in geschweifter Klammer stehen?
- Ich hab statt des Doppelpunktes einen senkrechten Strich genommen (in meiner Version). Was beduetet der Doppelpunkt-operator und was wäre der Unterschied zum senkrechten Strich?
- Da ich erwähnen muss, in welchem Zahlenbereich sich das Intervall befindet, wollte ich fragen, ob man das auch vorher definieren kann und stattdessen dann schreibt
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte das in geschweiften Klammern stehen? Das ist doch keine Menge sondern eine Aussage.
Man schreibt doch auch nicht


Schreibweise:

Bedeutung:
Es gibt mindestens ein aus , für das wahr ist.

Der Stricht dürfte diesselbe Bedeutung haben.

Ich weiß nicht genau, was du vorhast. Aber Grundsätzlich kannst du sonst was vorher definieren. Warum auch nicht...
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1)
Ja, stimmt. Es sieht in der Tat etwas unnötig aus, wenn man es mit deinem Beispiel begründet. Ich hatte -wie so oft- gedacht, dass Aussagen in der Mengenlehre in geschweiften Klammern stehen. Wenn ich so in den Bronstein gucke, sehe ich sie nicht selten. Gut, dann lasse ich sie weg.

zu 2)
Ok, das wollte ich nämlich wissen,ob man den Dopplepunkt genauso liest wie den Strich und ob sie tatsächlich exakt das gleiche aussagen

zu 3)
Ich hatte vor, dass der Bereich vorher für definiert wird. Deswegen wollte ich dem Intervall eine eigene Zeile mit eigenem Gültigkeitsbereich definieren. Also zu deinem Beispiel . Sonst hätte man nämlich den Fall, dass zweigmal das -Symbol in einer Zeile enthalten ist, was eventuell nicht üblich ist (und merkwürdig aussieht).
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das ist doch auch Quatsch! Du meinst vermutlich .
Alternativ: .

Wenn du willst, dass Element sind, kannst du vorher schreiben.

------

Zitat:
Ich hatte -wie so oft- gedacht, dass Aussagen in der Mengenlehre in geschweiften Klammern stehen. Wenn ich so in den Bronstein gucke, sehe ich sie nicht selten.

Das bezweifle ich! Ein paar Beispiele?
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
...Das ist doch auch Quatsch! ...

Ach herrje, jetzt verunsicherst du mich aber arg.

Also, ich möchte was ganz einaches:
Deine aufgestellte Formel ist genau das, was ich suche:
Zitat:
Original von Cugu

Ich möchte lediglich klarstellen, in welchem Zahlenbereich das Intervall [a,b] sich befindet. Dabei möchte ich das nicht abhängig von der unter- und obergrenze a und b machen, sondern das Intervall an sich definieren.


Zum Punkt geschweifter Klammern:
Habe den Bronstein gerad nicht zur Hand. Erhängt mich nicht, wenn ich mich irre, habe das so aus meinen Erinnerungen schöpfend nur gepostet. Ich kann also falsch liegen.
Wenn ich mal durchs Netz so schaue, sehe ich oft geschweifte Klammern in Zusammenhang mit der Mengenlehre, wie hier: 3w.mathe-online.at/mathint/mengen/i.html#Durchschnitt
Daher meine Vermutung, das in Klammern zu setzen.

Danke und Gruß
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Das Intervall ist schon definiert. Für ist .
Da stehen übrigens Klammern, weil das eine Menge ist.

Du kannst das natürlich umdefinieren, z.B. .

Zitat:
Ich möchte lediglich klarstellen, in welchem Zahlenbereich das Intervall [a,b] sich befindet.

oder was willst du damit sagen? Das ist aber keine Definition. Das ist eine Eigenschaft.

Zitat:
Dabei möchte ich das nicht abhängig von der unter- und obergrenze a und b machen, sondern das Intervall an sich definieren.

Ich gehe ganz stark davon aus, dass das Intervall auch bei dir von den Grenzen abhängig ist!
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Also, a und b können ganze Zahlen sein, dennoch kann ein Element x aus diesem Intervall beispielsweise ein Bruch sein.
Deswegen meine Definition des Intervalls, aus welchem Zahlenbereich die dort befindlichen Elemente stammen und nicht abhängig davon, woher die Unter- und Obergrenzen stammen.

Welches deiner Vorschläge wäre das dann?
Wieso ist das keine Definition? Ich definiere, dass mein Intervall 1. so heißt, wie es heißt und 2. eine unter- und Obergrenze besitzt und 3. die enthaltenen Elemente beispielsweise Brüche sind, obwohl die Grenzen aus der natürlichen Zahlenmenge stammt.

Was genau mache ich falsch oder wo sitzt der Denkfehler?
Danke und Gruß
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Was du falsch machst? Du schreibst "können", "beispielsweise" etc, noch unpräziser geht es nicht.
Wie soll man da verstehen, was du meinst?

Was hast du denn gegeben? und ?
Und gesucht ist ?

Dann musst du zunächst mal schreiben, was und sind.
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte:


Jetzt möchte definieren, dass alle im Intervall enthaltenen Elemente aus dem natürlichen Zahlenbereich stammen:

(Oder ist die Notation für eine Definition falsch und müsste wie folgt lauten:
?

Das mache ich, um das Intervall in der letzten Zeile zu verwenden:


Danke!

Und das gerne in stich- und hiebfester Mathematik :-)
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Um dir jetzt mal klarzumachen, dass das, was du schreibst, nicht präzise ist:
Wenn ich mich dumm anstelle, würde ich vorschlagen.
Dann ist die Menge leer und folglich gilt, dass
Zitat:
alle im Intervall enthaltenen Elemente aus dem natürlichen Zahlenbereich stammen


-------

Ich vermute weiterhin, dass du so etwas meinst:
.
Aber um das zu entscheiden, müsstest du präzise sagen, was du willst (s.o.).

-------

ist doppel vergeben...
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man sich dumm stellen, auch wenn ich vorher definiert habe, dass a und b aus N stammen? Ist eine leere Menge damit dann nicht ausgeschlossen? Ich gebe mir mal selbst die antwort: Wenn a=b ist, und das Intervall nur Elemente aus N annimmt, ja, dann ist die Menge leer. Richtig?

-------

Richtig, ich möchte genau das:
.
Ich wusste nur nicht, dass man das mit dem Symbol beschreibt? Ich hätte ja das -Symbol für "ist vollständig enthalten in" genommen. Du benutzt doch das "Schnittmengensymbol"

Klären wir das, dann setze ich alles zusammen, wie ich es dann schreiben würde.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nirgendwo geschrieben, dass sein sollen...

-------

soll also die Menge sein, die alle natürlichen Zahlen, die größer gleich und kleiner gleich sind, enthält.
soll keine weiteren Elemente enthalten.

Dann ist das diese Menge .
Naja, aber das ist der Schnitt des reellen Intervalls mit den natürlichen Zahlen.

-------

Natürlich stimmt . Aber das ist keine Definition.
Es gelten z.B. auch und .

-------
Da mit anscheinend weiterhin das reelle Intervall gemeint ist, sind und i.A. falsch!
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bringst du mich komplett durcheinander. Warum machst du mir das so schwer?

Ich nannte es Definition, da ich eine Zahlenmenge P einführe, die ein Intervall ist beginnend bei a und endennd bei b. Und alle dort enthaltenen elemente aus N sein sollen. a und b sollen selbst auch aus N sein.
Und da ich das in dem Moment einführe, nenne ich es Definition:

Und damit klar wird, dass die dort enthaltenen Elemente aus N stammen, hab ich das -Symbol verwendet, auch wenn es für sich alleine genommen anscheinend nicht für Definitionen gilt.

Lassen wir alle vorherigen Beiträge entfallen:
Wie formuliert man das mathematisch, was ich in diesem und meinem letzten Posting so präzise genug versuche zu formulieren.

Ich kann nicht mehr... traurig
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu soll also die Menge sein, die alle natürlichen Zahlen, die größer gleich und kleiner gleich sind, enthält.
soll keine weiteren Elemente enthalten.

Genau!! Das ist es.

-------

Zitat:
Original von Cugu
Da mit anscheinend weiterhin das reelle Intervall gemeint ist, sind und i.A. falsch!

Nein, es ist nicht das reelle Intervall gemeint, sondern das natürliche.
Es sollen überhaupt keine reellen Zahlen vorkommen. Ich hatte es nur mal als Gegenbeispiel in den vergangenen Postings benutzt.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Seien . Dann heißt die Menge .

Oder einfach:

Für definiere .

Und dann setzt du .
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Cugo,
könnte ich die beiden letzten Zeilen nicht kombinieren?
Für definiere
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, meinte Cugu.

Und weiter: alle Zahlen sollten positiv sein. Schreib ich dann:
Für definiere
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für definiere


Das ist ziemlicher Murks. Man kann nicht mal erahnen, was du damit sagen willst.

Was sind die Eingabe-Parameter deines Codes? anscheinend nicht.
Und was wird ausgegeben?
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Eingabeparamter: Alle Eingabeparameter sind aus N+ (auch c und x)
  • a= c-x stellt Untergrenze dar
  • b= c+x stellt Obergrenze dar
  • i: Laufindex
  • k: diskrete Zeitvariable aus dem Intervall [a_i, b_i]. Das Intervall soll P heißen.
    D.h., es gibt mehrere Intervalle. Und jedes Mal soll Voraussetzung sein, dass k sich auch in dem jeweiligen intervall befindet
  • f(k): binäre Funktion


Ausgabeparameter: bool
  • TRUE: Wenn mindestens ein k im Intervall P liegt für das gilt f(k) = 1
  • FALSE: sonst.


Ich glaubm gleich haben wirs :-)
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Also du hast und du hast gegeben.

-------

Ich verstehe immer noch nicht, was und sind.
Wo kommen die her?

Muss man wirklich eingeben oder sind das Hilfsvariablen?

-------

Wenn das nicht zu lang ist, dann kopier den Code doch einfach hier 'rein oder ein Screenshot davon. Das geht vermutlich schneller...
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

- f ist im Prinzip ein binärer Vektor / binäre Funktion.
- k ist sein Index.
- a und b sind Intervallgrenzen. Die sind einfach gegeben. Sie errechnen sich wie aus dem letzten Posting.
- Es gibt mehrere Intervalle mit jeweils eigener unter- a_i und obergrenze b_i.
- Insgesamt gibt es i Stück.
- Für jedes der i Intervalle soll die Prüfung stattfinden.
- trifft sie zu, soll ein True zurückgegeben werden.
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
    % MATLAB Code:
    g     = false(1,length(c));
    for i = 1:length(c)
        a = c(i)-x(i);
        b = c(i)+x(i);
       g(i) = any( f(a:b) );
    end
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, damit sind zwei Vektoren gegeben:
und .
Wie üblich kannst du und schreiben.
Außerdem musst du für fordern, damit ist.

Die Frage ist, was du mit und machst. Die Bezeichnung ist recht ärgerlich und hat zu ein paar Missverständnissen geführt.
Das Lustige ist: und sind Dummys. Die braucht man nicht. Ich weiß allerdings nicht, ob das wirklich Speicherplatz verschenkt.

Du könntest sofort

setzen und dann
.
Du braucht eigentlich gar kein Intervall und auch kein und .
------
Natürlich kannst du und setzen und schreiben.
Aber das kollidiert ein bisschen mit den Bezeichnungen im Code, wo alles bzw. heißt. Ich würde das weglassen!
-------
Alternativ kannst du alle Vektoren auch als Abbildungen z.B. ansehen und wie im Code etc. schreiben.
Das wäre gar keine schlechte Idee...
------
Ich unterscheide übrigens nicht zwischen binären und logischen Werten. Entweder Strom fließt oder nicht...
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Cugu. Das sieht alles schon sehr gut aus!

Zitat:
Original von Cugu
Ok, damit sind zwei Vektoren gegeben:
und .

1) 'd' ist ja die Anzahl der Elemente von c und x. Was bedeutet die Schreibweise bezogen aufs 'd'?
2) Warum ist nicht auch ? Denn ist auch positiv.

Zitat:
Wie üblich kannst du und schreiben.

3) Kann man auch eckige Klammern nehmen, um einen Vektor zu definieren?
4) Warum nimmt man hier keine geschweiften Klammern? Das ist doch auch gleichzeitig eine Menge?

Zitat:
Außerdem musst du für fordern, damit ist.

Richtig erkannt! Mein Code in den Zeilen 4+5 ist nämlich gekürzt und beinhaltet in der Originalversion eine Abfrage mit max und min, um nicht < 1 bzw. größer als der Vektor lang ist zu werden. Freude

Zitat:
Das Lustige ist: und sind Dummys. Die braucht man nicht. Ich weiß allerdings nicht, ob das wirklich Speicherplatz verschenkt.

Ich habe sie aus Übersichtsgründen sowohl im Matlab Code als auch hier eingeführt und würde sie gerne behalten, da ich auch auf diese Zeilen verweise uns sie beschreibe.

Zitat:
Natürlich kannst du und setzen und schreiben.

Das mache ich und das gefällt mir sehr gut.
5) Wann benutzt man ein -Zeichen und wann ein -Zeichen?
6) Warum ist nicht ? Denn ist eine diskrete, positive Zeit (ähnlich zu Frage 2)

Zitat:
Aber das kollidiert ein bisschen mit den Bezeichnungen im Code, wo alles bzw. heißt. Ich würde das weglassen!

7) Was meinst du damit? Im Code wird sie zwar jedes Mal wieder überschrieben, aber eine Kollision sehe ich nicht.

Zitat:
Die Frage ist, was du mit und machst. Die Bezeichnung ist recht ärgerlich und hat zu ein paar Missverständnissen geführt.

8) Welche Missverständnisse haben sie verursacht? Für mich ist das das simpelste an meiner ganzen Erklärung :-) Es sind die Unter- und Obergrenze, die für jedes i andere Werte annehmen. Prinzipiell als "wandernde Fenster" beschreibbar.
-------

Zitat:
Alternativ kannst du alle Vektoren auch als Abbildungen z.B. ansehen und wie im Code etc. schreiben.Das wäre gar keine schlechte Idee...

9) Ich wusste gar nicht, dass man auf Abbildungen wie bei Vektoren miitels Index zugreifen kann?
Bei genauerem Hinsehen versteh ich das auch nicht: c bildet seine Elemente auf den Zahlenbereich N+ ab? Und dann kann man auch noch auf die Zugreifen?
------

Zitat:
Ich unterscheide übrigens nicht zwischen binären und logischen Werten. Entweder Strom fließt oder nicht...

Augenzwinkern

Danke nochmal für deine Hilfe!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

1) Naja, das ist so wie mit in der Schule. Das ist ein Vektor mit Einträgen und die Einträge sind alle in .
2) Dann hast du recht. Ich sah nur keinen Grund als Eintrag nicht zuzulassen. Weiter einschränken kannst du natürlich immer.
3) Man kann viel, aber man macht das nicht. Zum Beispiel wüsste man dann nicht ob ein Intervall oder ein Vektor sein soll.
4) Alles ist eine Menge. Aber ist gewiss nicht die Menge . In einem Vektor kommt es auf die Reihenfolge und die Anzahl der Einträge an, in einer Menge nicht.
5) Da legen die wenigsten Mathematiker wirklich wert 'drauf. Ich schreibe meistens , wenn die linke Seite noch unbekannt ist und durch die rechte Seite definiert wird.
Also bedeutet , dass ich einen Wert zuweise. Aber ginge auch.
6) Das ist völlig egal. Es gilt .
Da ist, ist völlig egal ab wo ich laufen lasse, denn die Bedingung ist frühstens bei erfüllt.
7) Naja, im Code heißt das statt , das ist alles. Du solltest in der mathematischen Formulierung aber auf jeden Fall nehmen.
8) Ich habe die ganze Zeit nicht gewusst, wo deine herkamen, bis ich den Code gesehen habe.
9) Naja, das macht man in der Schule doch laufend, z.B. .
Dann ist etc.
Nein bildet nicht seine Elemente ab, sondern bildet die Zahlen bis auf seine Elemente ab .
Naja und die leben in , deswegen ist das eine Abbildung von nach .

-------

Achso, da auch ein Vektor ist, würde ich, um es einheitlich zu machen, schreiben oder überall statt verwenden.
Das ist allerdings Geschmackssache. Deine Vektoren sind wie gesagt nichts anderes als Funktionen, die auf einer endlichen Menge definiert sind.
SpeedMix Auf diesen Beitrag antworten »

Huch, ganz vergessen mich zu bedanken Hammer

Danke für deine geduldige Hilfe, Cugu Freude
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