Komplexe Lösungen von quadratischen Gleichungen

06.10.2010, 21:58

DrJohnZoidberg

Komplexe Lösungen von quadratischen Gleichungen

Hey Leute,

hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Mit höchster Wahrscheinlichkeit sind meine Rechnungen alle Falsch traurig

=> Meine Frage lautet:
Berechnen Sie die komplexen Lösungen folgender quadratischer Gleichungen.

$\begin{eqnarray*} a) x^2+4x+13=0<br /> b) x^2+\frac{3}{2}x+\frac{25}{16}=0<br /> c) x^2-\frac{i}{2}\sqrt{2}x+1=0<br /> d) 16x^2+8(i+1)x+2(i+\frac{9}{2})=0 \end{eqnarray*}$

zu a)
$\begin{eqnarray*} x_{1}=i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=-5i \end{eqnarray*}$ oder anders geschrieben (falls ich mich nicht irre, bin mir unsicher) $\begin{eqnarray*} x_{2}=5 \end{eqnarray*}$

zu b)
$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{1}{4}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{7}{4}i \end{eqnarray*}$

zu c) und d), hier komm ich nicht bis zum Schluss verwirrt

Meine Rechnungen: Jeweils soweit bin ich gekommen:
c)
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =\frac{\frac{i}{2}\sqrt{2}\pm \sqrt{\frac{i^2}{2}-4 } }{2} \end{eqnarray*}$

wie geht es weiter?

Danke

Itch

06.10.2010, 22:01

schultz

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also deine lösungen sind falsch, wie du leicht sehen wirst wenn du sie einsetzt.
wie kommst du denn zB bei a) auf $\begin{eqnarray*} x_1=i \end{eqnarray*}$ ?

06.10.2010, 22:39

corvus

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RE: Komplexe Lösungen von quadratischen Gleichungen

Zitat:

Original von DrJohnZoidberg

alle Falsch Freude

erste Hilfe ->
hier schon mal ein Tipp:
.. Wenn die Vorzahlen alles reelle Zahlen sind (wie bei Aufgabe a) und b) ),
dann sind die beiden komplexen Lösungen zueinander konjugiert komplex.
(weisst du, was das heisst?)

und vielleicht kannst du dir auch schon selbst überlegen, warum das so
sein muss - falls du nicht herausfindest warum , dann wird dir hier sicher
jemand alles prima erklären..

.
ach ja, Herr DrJohnZoidberg
zur allgemeinen Behandlung von quadratischen Gleichungen empfiehlt sich die richtige
Anwendung eines bekannten Rezeptes. Fragen Sie den MitternachtsApotheker ..
.

07.10.2010, 00:58

DrJohnZoidberg

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Naja wenigstens war etwas richtig, die Vermutung das alles falsch ist
Gott

Zitat:

Original von schultz
also deine lösungen sind falsch, wie du leicht sehen wirst wenn du sie einsetzt.
wie kommst du denn zB bei a) auf $\begin{eqnarray*} x_1=i \end{eqnarray*}$ ?

Ich dachte die Mitternachtsformel benutzt zu haben, wie corvus mir auch geraten hat.
Für $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a} \end{eqnarray*}$

Wie euch sicherlich schon aufgefallen ist fehlen mir diverse Rechenregeln die ich alle versuche nach und nach zu erlernen, also habt bitte etwas Geduld mit mir Lesen2

Zitat:

Original von corvus
erste Hilfe ->
hier schon mal ein Tipp:
.. Wenn die Vorzahlen alles reelle Zahlen sind (wie bei Aufgabe a) und b) ),
dann sind die beiden komplexen Lösungen zueinander konjugiert komplex.
(weisst du, was das heisst?)

und vielleicht kannst du dir auch schon selbst überlegen, warum das so
sein muss - falls du nicht herausfindest warum , dann wird dir hier sicher
jemand alles prima erklären..

.
ach ja, Herr DrJohnZoidberg
zur allgemeinen Behandlung von quadratischen Gleichungen empfiehlt sich die richtige
Anwendung eines bekannten Rezeptes. Fragen Sie den MitternachtsApotheker ..
.

Ich habe nun nachgelesen und habe Erfahren das komplexe Konjugation das hier ist:
$\begin{eqnarray*} z~=~x~+~i~*~y \end{eqnarray*}$
Leider versteh ich das nicht wirklich und habe somit auch nicht herausgefunden warum das so sein muss.
Ich setzte wieder, wie beim ersten mal die Gleichung a) in die Mitternachtsformel ein und hoffe das ich somit meinen Fehler finde:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{-4\pm \sqrt{16-4*1*13} }{2*1} =\frac{-4\pm \sqrt{-36} }{2} \end{eqnarray*}$
ich weiß das $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} = i \end{eqnarray*}$ ist. Also wäre mein nächster Schritt:
$\begin{eqnarray*} =\frac{-4\pm \sqrt{36}i }{2} =-2\pm 3i \end{eqnarray*}$
geschockt

diesmal habe ich ein anderes Ergebnis!
b) neues Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} =-\frac {3}{4} \pm i \end{eqnarray*}$
c) komm ich nicht zum Schluss:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{\frac{i}{2}*\sqrt{2}\pm \sqrt{\frac{i^2}{4}*2-4 } }{2} = \frac{\frac{\sqrt{2} }{2}*i\pm \sqrt{\frac{1}{2}*i^2-4 } }{2} \end{eqnarray*}$
und jetzt bleibe ich hängen... mein nächster Schritt wäre, hilft mir jedoch nicht weiter ...
$\begin{eqnarray*} =\frac{\frac{\sqrt{2} }{b2}*i\pm (\frac{1}{2}*i^2-4 )^{0,5} }{2} \end{eqnarray*}$

Mir fehlt das Wissen über die Rechenregeln Finger2

07.10.2010, 10:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von DrJohnZoidberg
Ich habe nun nachgelesen und habe Erfahren das komplexe Konjugation das hier ist:
$\begin{eqnarray*} z~=~x~+~i~*~y \end{eqnarray*}$

Vermutlich hast du etwas nicht richtig gelesen. Für $\begin{eqnarray*} z = x + i \cdot y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \overline z = x - i \cdot y \end{eqnarray*}$ die konjugiert komplexe Zahl.

Zitat:

Original von DrJohnZoidberg
ich weiß das $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} = i \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist so ein Halbwissen über komplexe Zahlen. Warum sollte nicht auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} = -i \end{eqnarray*}$ sein, denn es ist auch (-i) * (-i) = i² = -1 ? Also obiges ist allenfalls eine Gedankenstütze und insgesamt mit großer Vorsicht zu genießen.

Zitat:

Original von DrJohnZoidberg
Mir fehlt das Wissen über die Rechenregeln Finger2

Ohne groß mit Rechenregeln rumzumachen, würde ich bei den Aufgaben c und d mit quadratischer Ergänzung arbeiten. Der Umfang der dafür benötigten Rechenregeln hält sich noch in Grenzen.

07.10.2010, 23:40

DrJohnZoidberg

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ohne groß mit Rechenregeln rumzumachen, würde ich bei den Aufgaben c und d mit quadratischer Ergänzung arbeiten. Der Umfang der dafür benötigten Rechenregeln hält sich noch in Grenzen.

Quadratische Ergänzung:
$\begin{eqnarray*} =x^2-\frac{i}{2}\sqrt{2}x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^2-\frac{i}{2}\sqrt{2}x+(\frac{i\sqrt{2} }{4} )^2-(\frac{i\sqrt{2} }{4} )^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(x-\frac{i\sqrt{2} }{4})^2-\frac{1}{8}i^2+1 \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht wie mir das weiter helfen soll. Nach meinem ,mathematisch kaum vorhandenen Wissen, ist die Quadratische Gleichung da um die Scheitelform einer quadratischen Funktion zu errechnen. Aber diese suche ich doch gar nicht ... oder bin ich gerade komplett falsch? verwirrt

Danke für Eure Geduld Gott

08.10.2010, 09:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von DrJohnZoidberg
$\begin{eqnarray*} =(x-\frac{i\sqrt{2} }{4})^2-\frac{1}{8}i^2+1 \end{eqnarray*}$

Das rechnen wir mal weiter:

$\begin{eqnarray*} ... = (x - \frac{i\sqrt{2} }{4})^2 - \frac{1}{8}i^2 - i^2 = (x - \frac{i\sqrt{2} }{4})^2 - \frac{9}{8}i^2 = (x - \frac{i\sqrt{2} }{4} + \frac{3}{2 \sqrt 2}i) \cdot (x - \frac{i\sqrt{2} }{4} - \frac{3}{2 \sqrt 2}i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (x + \frac{2 \sqrt 2}{4}i) \cdot (x - \frac{4 \sqrt 2}{4}i) = (x + \frac{\sqrt 2}{2}i) \cdot (x - \sqrt 2 i) \end{eqnarray*}$

Ich gebe aber zu, daß man bei dieser Methode nach wie vor das Problem hat, Wurzeln (es gibt da nicht die Wurzel) aus einer komplexen Zahl zu ziehen.

Statt den Weg über die quadratische Ergänzung kam man auch folgenden Ansatz verfolgen:
Ist u eine komplexe Zahl und man sucht komplexe Zahlen z mit z² = u, so kann man den Ansatz z = x + y*i machen. Einsetzen in z² = u und Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert 2 Gleichungen.

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