Eig. bed. Erwartung

07.10.2010, 08:55

awa

Eig. bed. Erwartung

Hallo,
ich habe folgende Eigenschaft der bedingten Erwartung gelernt:

$\begin{eqnarray*} {\mathbb{E}\,}(XY\mid\mathcal{G})=Y{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ , falls Y eine $\begin{eqnarray*} (\mathcal{G},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \end{eqnarray*}$ -messbare Zufallsvariable ist.
Jetzt frage ich mich, wie diese(die anderen Eig. lassen sich ja 1:1 übernehmen) im R^n aussieht, also für n-dim. ZV. Gibt's da eine Entsprechung? Habe das noch nie aufgeschrieben gesehen.
Gruß,
AWA

07.10.2010, 10:19

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eig. bed. Erwartung
Das ist für mein Verständnis ein sinnloser Satz:
Zahl = Zufallsvariable * Zahl

07.10.2010, 10:57

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hängt mit der Definition des bedingten Erwartungswertes zusammen. Sei $\begin{eqnarray*} \mathfrak{H} \subset \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ eine Sigmaalgebra, dann ist

$\begin{eqnarray*} E[X | \mathfrak{H}] \end{eqnarray*}$

die eindeutige Funktion $\begin{eqnarray*} \Omega \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ die folgende Bedingungen erfüllt :

(1) $\begin{eqnarray*} E[X|\mathfrak{H}] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak{H} \end{eqnarray*}$ -messbar
(2) $\begin{eqnarray*} \int_H E[X|\mathfrak{H}] dP = \int_H X dP ~ \forall H \in \mathfrak{H} \end{eqnarray*}$

Daher macht obige Gleichung für diese Definition durchaus Sinn. Allerdings versteh ich das Problem des Threaderstellers nicht so ganz.

07.10.2010, 11:13

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eig. bed. Erwartung
D.h., dass die «bedingte Erwartung» $\begin{eqnarray*} {\mathbb{E}\,}(XY\mid\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ gar keine Zahl, sondern selbst eine Zufallsvariable ist. Danke, habe wieder dazugelernt.

07.10.2010, 11:15

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab diese Definition auch erst vor 5 Tagen kennen gelernt, da ich gerade ein Buch über stochastische Differentialgleichungen lese Augenzwinkern

08.10.2010, 16:54

awa

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage war, ob man dann für n-dim. ZV
$\begin{eqnarray*} E(Y^T X|\mathcal{G})=Y^T E(X|\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ schreibt?

09.11.2010, 08:32

awa

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es schon ein bißchen länger her ist:
Kann mir niemand 'nen Tipp geben, ob sich die Eigenschaften einfach so ins n-dimensionale übertragen?
Oder weiß viell. jemand, wo sowas steht?
Gruß,
AWA

09.11.2010, 09:01

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von awa
Kann mir niemand 'nen Tipp geben, ob sich die Eigenschaften einfach so ins n-dimensionale übertragen?

Ja, das kann man durch komponentenweise Aufschlüsselung leicht begründen.

09.11.2010, 09:15

awa

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke, habe mir schon sowas gedacht, dass sich das komponentenweise übertragen müsste. Dann müsste auch gelten:
$\begin{eqnarray*} E[E[X^T|\mathcal{G}]Y|\mathcal{G}]=E[X^T|\mathcal{G}]E[Y|\mathcal{G}] \end{eqnarray*}$
(An den übrigen Eigenschaften ändert sich formal ja nichts.)

Neue Frage »

Antworten »

Eig. bed. Erwartung

Verwandte Themen