Supremum/Infimum zu beweisen

07.10.2010, 13:48

pablosen

Supremum/Infimum zu beweisen

Hallo liebes Forum

Folgende Aufgabe habe ich hier vorliegen:

$\begin{eqnarray*} M:=\{ q \in \mathbb{Q} | q^2 \leq 2 \} \end{eqnarray*}$

Zu begründen:
- Ob Menge nach oben bzw. nach unten beschränkt
- Ob die Menge ein Maximum bzw. Minimum besitzt

Zu zeigen:
- Ob es sich bei der oberen / unteren Schranke um ein Supremum bzw. Infimum handelt

Meine Ansätze bisher:

obere/untere Schranke:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ obere bzw. untere Schranke, da aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^2=2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{2})^2=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q^2 \leq 2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \leq q \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Maximum/Minimum:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}, -\sqrt{2} {\not\in} \mathbb{Q} \rightarrow \sqrt{2}, -\sqrt{2} {\not\in} M \end{eqnarray*}$ . Also hat die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ kein Maximum und auch kein Minimum.

Z.z.: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}, -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist Supremum bzw. Infimum

Zwischen zwei irrationalen Zahlen hat es immer eine rationale Zahl und umgekehrt. Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ obere bzw. untere Schranke, $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^2=2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{2})^2=2 \end{eqnarray*}$ und stets gilt $\begin{eqnarray*} 2 \geq m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ beliebig folgt, dass die nächste kleinere bzw. grössere rationale Zahl, die diese Bedingung erfüllt, kleiner $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bzw. grösser $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sein muss.

$\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

Da bin ich mir aber sehr unsicher.
Grüsse

07.10.2010, 14:16

Mazze

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Dein Beweis bezüglich Supremum und Infimum ist für mich unverständlich. Was machst Du da? Kannst Du das Ganze mal umformulieren?

Und wie willst Du entscheiden was die "nächst" größere / kleinere rationale Zahl sein soll? Du kannst, sobald Du in die rationalen Zahlen kommst, nicht mehr vom "nächsten" sprechen, es sei denn Du hälst dich an eine Bijektion in die natürlichen Zahlen und definierst Dir den "nächsten" entsprechend. Aber das ist dann keine größer/kleiner Relation mehr (in dem Punkt frag ich mich, ob man eine Bijektion f angeben kann, so dass a < b => f(a) < f(b) gilt Big Laugh

).

Das Supremum s ist die kleinste obere Schranke. Sei a also eine obere Schranke, dann musst Du zeigen dass $\begin{eqnarray*} a \geq s \end{eqnarray*}$ gilt.

Das Infimum i ist die größte untere Schranke. Sei b also eine untere Schranke, Du musst zeigen dass $\begin{eqnarray*} b \leq i \end{eqnarray*}$ ist.

Die Beschränktheit ist aber in Ordnung.

07.10.2010, 19:14

pablosen

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Danke. Also:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=supM \end{eqnarray*}$
z.z.: $\begin{eqnarray*} a \geq \sqrt{2} \forall a := \end{eqnarray*}$ obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a \geq q \forall q \in M \end{eqnarray*}$ . Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} a^2 \geq q^2 =|q|^2 \end{eqnarray*}$ Da $\begin{eqnarray*} q^2 = |q|^2 < 2 \rightarrow a^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \rightarrow a \geq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Von diesen 2 Lösungen muss offensichtlich die positive gelten, denn falls

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Supremum, wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} > -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \in M, \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} < 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ Widerspruch!

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a \geq \sqrt{2} \qed \end{eqnarray*}$

08.10.2010, 16:24

pablosen

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War das jetzt wieder falsch?

Also noch ein Versuch:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} supM=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

z.z.: (1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \geq a \forall a \in M \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} h<\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke

Beweis:

(1) Definition für $\begin{eqnarray*} M: a^2 \leq 2 \forall a \in M \leftrightarrow |a|^2 = a^2 \leq 2 \end{eqnarray*}$

Dies genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |a| \leq \sqrt{2} \leftrightarrow -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ (*)

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a \leq \sqrt{2} \checkmark \end{eqnarray*}$

(2) Annahme: $\begin{eqnarray*} h<\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ obere Schranke
Aus (*) folgt: $\begin{eqnarray*} a < \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Da h obere Schranke $\begin{eqnarray*} h \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Aber ein Widerspruch zur Annahme ! $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt besser verständlich?

10.10.2010, 14:02

pablosen

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Pass das so? *pushletztesMal*

11.10.2010, 09:39

Mazze

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Ich hab in der Regel am Wochenende keine Zeit, daher erst jetzt die Antwort. Zunächst ist der Schluss

$\begin{eqnarray*} a \geq q \Rightarrow a^2 \geq q^2 \end{eqnarray*}$

nur richtig, wenn $\begin{eqnarray*} a,q > 0 \end{eqnarray*}$ sind. Für negative Zahlen etwa :

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \geq -1 \end{eqnarray*}$ aber

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon ist dein Beweis falsch , denn aus

$\begin{eqnarray*} a > b \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} c > b \end{eqnarray*}$

folgt nicht a > c oder c > a. Aber genau das machst Du, Du hast

$\begin{eqnarray*} q^2 < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q^2 \leq a^2 \end{eqnarray*}$

Das gibt dir aber keine Information darüber ob 2 kleiner oder größer als a^2 ist. Genau den selben Schritt machst Du übrigens bei

Zitat:

(2) Annahme: obere Schranke
Aus (*) folgt:

Da h obere Schranke Aber ein Widerspruch zur Annahme !

Ich zeigs Dir mal für das Supremum :

Sei a eine obere Schranke, dann gilt

$\begin{eqnarray*} a \geq q ~ q \in M \end{eqnarray*}$ , wäre $\begin{eqnarray*} a < \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ so gäbe es zwischen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und a mindestens eine rationale Zahl (warum ? ) b, mit $\begin{eqnarray*} a < b < \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Dann kann aber a keine obere Schranke gewesen sein, da b zur Menge M gehört. Widerspruch!

12.10.2010, 15:50

pablosen

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Zitat:

Original von Mazze wäre $\begin{eqnarray*} a < \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ so gäbe es zwischen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und a mindestens eine rationale Zahl (warum ? )

Also a muss ja nicht in M sein, kann also auch irrational sein. Aber weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}:=\{ \frac{a}{b} , a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \backslash \{ 0 \} \} \end{eqnarray*}$ und b nicht nach oben beschränkt, lässt sich zwischen jeder irrationalen Zahl auch eine rationale finden und umgekehrt?

Anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ hat Lücken., $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hat keine Lücken.

12.10.2010, 16:25

TommyAngelo

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ lässt sich als Supremum einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen darstellen, die beliebig nah an $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ herankommen. Oder schmeiß ich da was durcheinander?

13.10.2010, 05:58

Mazze

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Zitat:

lässt sich zwischen jeder irrationalen Zahl auch eine rationale finden und umgekehrt?

Besser formulieren. Zwischen einer Zahl findest Du nichts. Zwischen zwei reellen Zahlen, die nicht gleich sind, findest Du stets unendlich viele rationale Zahlen.

13.10.2010, 12:40

pablosen

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RE: Supremum/Infimum zu beweisen

Zitat:

Besser formulieren. Zwischen einer Zahl findest Du nichts. Zwischen zwei reellen Zahlen, die nicht gleich sind, findest Du stets unendlich viele rationale Zahlen.

Das ist aber nur so, weil ich zwischen zwei ungleichen reellen Zahlen auch immer unendlich viele reelle Zahlen finde, oder?

Denn unendlich viele sind es ja nur, weil ich halt noch nicht alle Nachkommastellen verwende. Das ist nie der Fall, also sind es unendlich viele. Ich wüsste es nicht besser zu formulieren als so wie hier:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ hat Lücken., $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hat keine Lücken.

13.10.2010, 13:29

Mazze

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Die Begründung ist schlicht, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt. Ich kann jede reelle Zahl als Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen darstellen.

Ist etwa $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl, $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die i-te Nachkommastelle von a und b der Vorkommaanteil von a, dann konvergiert die Folge

$\begin{eqnarray*} c_n = b + \sum_{i=1}^n 10^{-i}a_i \end{eqnarray*}$

gegen a. Man sieht schnell ein das alle $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ rational sind.

Insbesondere heisst das, dass in jeder Umgebung um eine reelle Zahl unendlich viele rationale Zahlen liegen. Und genau das hab ich benutzt.

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