Überprüfen eines Grenzwertes einer Reihe

07.10.2010, 18:10

NullKommaNichts

Überprüfen eines Grenzwertes einer Reihe

Meine Frage:
Hallo, ich hab hier eine Aufgabe im Bezug zu einer Reihe, die folgendermaßen lautet:
Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty 1/(k(k+1)) =1 \end{eqnarray*}$

Damit die ganze Reihe =1 ist muss die Reihe konvergent sein oder?
Wenn ich ehrlich bin, bin ich mir nicht mal sicher was ich genau machen soll um das zu zeigen. Als einzige greifbare Möglichkeit würde ich jetzt das Quotientenkrit. einsetzen und erhalten dann $\begin{eqnarray*} k²+k/(k²+2k+1) \end{eqnarray*}$ Dann würde ich davon den Limes bestimmen und erhielte $\begin{eqnarray*} (1+1/k)/(1+2/k+2/k²) \end{eqnarray*}$ und erhielte dann für k gegen unendlich 1/1=1 womit ich gezeigt hätte, dass die ganze Reihe =1 ist. Allerdings muss ich sagen kommt mir das sehr komisch vor. Allerdings kann ich auch nichts damit anfangen wenn ich $\begin{eqnarray*} 1/k(k+1) = (1/k)*1/(k+1) \end{eqnarray*}$ und das auf 2 Summen aufteile die ich miteinander multipliziere.
Muss ich da überhaupt den Limes berechnen? Wie geht denn das allgemein bei solchen Aufgaben den Grenzwert einer Reihe zu bestimmen? Würde mir echt viel helfen, weil ich das nicht so ganz verstanden habe.

Ich habe noch eine weitere Aufgabe die folgendermaßen lautet:

Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j,k=2}^\infty 1/j^k =1 \end{eqnarray*}$

Hier hätte ich das jetzt umgeschrieben und als Summe von $\begin{eqnarray*} (1/j)^k \end{eqnarray*}$ geschrieben, das entspricht der harmonischen Summe und es würde dann da stehen $\begin{eqnarray*} 1/(1-1/j) \end{eqnarray*}$ Da j gegen unendlich geht, würde dann 1/1=1 rauskommen. Stimmt das?

So und ein dritte Aufgabe hätte ich auch noch, bei dem ich gerne wissen würde ob meine Lösung korrekt ist.

"Untersuchen Sie die folgende Reihe sowohl auf Konvergenz als auch auf absolute Konvergenz"
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty ((-1)^k)*k/((k+1)(k+2)) \end{eqnarray*}$

Ich wende Leibniz an und prüfe ob der zweite Teil eine Nullfolge ist.
[/latex]lim k/(k²+3k+2)=(1/k)/(k+3+2/k)[/latex] wobei k gegen unendlich geht. Der Limes ist also =0 somit ist es eine Nullfolge. Jetzt muss ich noch prüfen ob die Folge monoton ist. Dazu wende ich $\begin{eqnarray*} a_{n+1}/a_n \end{eqnarray*}$ an.
Ich erhalte dann ausmultipliziert $\begin{eqnarray*} (k²+2k+1)/(k²+3k) \end{eqnarray*}$ und erkenne da k>=1 ist, dass der Quotient =<1 ist womit die Folge monoton fallen wäre. Somit wäre Leibniz erfüllt und die Reihe ist konvergent. Absolut konvergent ist sie außerdem auch, weil $\begin{eqnarray*} k/((k+1)(k+2)) \end{eqnarray*}$ als Reihe für sich alleine ebenfalls konvergent ist.
Stimmt das so weit?

Ich danke für die Hilfe! Sorry wegen dem Latex, aber irgendwie hat das bei mir nicht so richtig geklappt -.-

Meine Ideen:
Ideen sind ja schon bei der Frage mit dabei.

07.10.2010, 18:12

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein 0815-Schema gibt es für Reihen nicht. smile

Das Quotientenkriterium solltest du nochmal durchlesen. Es gibt dir eine Aussage über Konvergenz, nicht über den Wert der Reihe.

Für deine erste Reihe schaue dir mal den Begriff der Teleskopsumme an. Augenzwinkern

air

07.10.2010, 19:00

NullKommaNichts

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das mit dem Quotientenkrit. habe ich mir schon gedacht.
Ok also ich zerlege das Ganze dann in $\begin{eqnarray*} (k+1-1)/k(k+1)= (k+1)/(k+1) - 1/(k+1)=1-1/(k+1) \end{eqnarray*}$ und dann lasse ich k gegen unendlich laufen und bekomme dann =1 raus. Geht das so? Und kann ich dann alle Reihen die von solcher Art sind so "lösen"?

07.10.2010, 19:09

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NullKommaNichts
$\begin{eqnarray*} (k+1-1)/k(k+1)= (k+1)/(k+1) - 1/(k+1)=1-1/(k+1) \end{eqnarray*}$

Diese Zeile macht keinen Sinn.

Zitat:

und dann lasse ich k gegen unendlich laufen und bekomme dann =1 raus.

Bitte unterscheide sorgfältig zwischen Folgen und Summen/Reihen. Man lässt bei einer Reihe nicht einfach "k gegen unendlich" gehen. Damit bestimmst du ja nur den Grenzwert der Folge, über die du summierst. Nicht aber den Wert der Summe. Was du willst ist der Grenzwert der Partialsummen(!).

Zitat:

Geht das so? Und kann ich dann alle Reihen die von solcher Art sind so "lösen"?

Kommt drauf an, was du mit "Art" meinst, aber höchstwahrscheinlich ist die Antwort "Nein". Wie oben gesagt: Es gibt kein "Schema F". Erfahrung, ein gutes Auge und deinen Kopf. Das brauchst du. Augenzwinkern

Ein gewisses Standardrepertoire wie geometrische Reihen, Teleskopsummen etc. sollte man aber natürlich haben, da das die Sache dann doch sehr erleichtert. Was du nun aber anwenden musst, das musst du dann noch herausfinden.

air

07.10.2010, 19:17

NullKommaNichts

Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo jetzt hab ich es gerafft. Ich setze an sich alle werte von 1 bis k ein. Also 1-1/2+1/2-1/3+...-...+1/k-1/(k+1) und bis auf das erste und das letzte kürzt sich alles raus. Ich erhalte dann 1-1/(k+1). Ok kann ich da jetzt sagen ich nehme den lim für k gegen unendlich und erhalte dann 1? Aber im Endeffekt wäre das ja fast das Gleiche wie das was ich vorher gemacht habe unglücklich

Und an sich kenne ich Teleskopsummen, nur habe das so noch nie gehört und vor allem verstehe ich eben nicht, wann und wie genau die zum Einsatz kommen. Eieiei bin ich froh wenn ich das in einer Woche nie wieder machen muss!
Achja und das was ich vorher gemacht habe war einfach mit einer 0 erweitert in Form von +1-1. Ist doch auch so ein komischer Trick.

07.10.2010, 19:33

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bringst leider immer noch einiges durcheinander.
Was du berechnen willst ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} := \lim_{N \to \infty} S_N \end{eqnarray*}$

wobei S_N die N-te Partialsumme ist:

$\begin{eqnarray*} S_N := \sum_{k=1}^N \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Vergessen wir mal für einen Moment, dass du den Grenzwert suchst. Wir wollen schauen, ob wir diese Partialsumme explizit berechnen können.
(Mehr oder weniger) anschaulich gesagt setzt du für die Berechnung der N-ten Partialsumme alle Werte von k=1 bis k=N ein und summierst das auf:

$\begin{eqnarray*} S_N = \frac{1}{1(1+1)} + \frac{1}{2(2+1)} + \ldots + \frac{1}{N(N+1)} \end{eqnarray*}$

Und da wollen wir nun schauen, ob wir das nicht irgendwie schöner aufschreiben können. Und dabei hilft uns die Teleskopsumme, denn wir sehen die Umformung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k + 1 - k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das nun? Stelle dir mal die Folge $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ vor. Der obige (umgeformte) Summand ist dann sozusagen $\begin{eqnarray*} a_k - a_{k+1} \end{eqnarray*}$ . Wir haben also

$\begin{eqnarray*} S_N = \sum_{k=1}^N (a_k - a_{k+1}) = a_1 - a_2 + a_2 - a_3 + \ldots + a_N - a_{N+1} = a_1 - a_{N+1} \end{eqnarray*}$

Das letzte Gleichheitszeichen gilt, wenn du dir die ausgeschriebene Variante anschaust, eben offensichtlich. Alle Terme bis auf den ersten und letzten summieren sich weg. Also haben wir

$\begin{eqnarray*} S_N = a_1 - a_{N+1} = \frac11 - \frac{1}{N+1} = 1 - \frac{1}{N+1} \end{eqnarray*}$

Und davon wollten wir ja den Grenzwert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{1}{N+1}\right) = 1 \end{eqnarray*}$

Lies' dir das mal ganz sorgfältig durch. Du bringst so einiges beim Thema Grenzwert, Folge, Summe und Reihe durcheinander. Das ist nicht ungewöhnlich, du musst es dir nur einmal in aller Ruhe anschauen.

Und deine Zeile war falsch, weil sie nicht "eine Null addiert" hat. Schau dir deine Zeile mal wirklich ganz genau an. Sie ist algebraisch schlicht und ergreifend falsch (eben weil du so vieles durcheinanderbringst Augenzwinkern

).
Und wann kommen Teleskopsummen zum Einsatz? Eben dann, wenn sie helfen. Wie gesagt ... es gibt kein Rezept. Mathematik erfordert halt auch mal nachdenken. smile

air

07.10.2010, 19:53

NullKommaNichts

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich ehrlich bin, habe ich das alles ganz genau so gemeint wie du das hier aufgeschrieben hast. Ich könnt mich selber dafür schlagen, dass ich mich mathematisch immer nur sehr dürftig ausdrücken kann. Das ist auch das Problem, dass ich da dann statt N eben noch das k bei mir in der Formel drinne stehen habe. Weil im Endeffekt habe ich ja auch 1-1/(n+1) da stehen nur dass ich statt dem n das k habe. Weil ich vieles ein wenig ungenau mache, liegt wohl dadran, dass ich nur Lehrämtler bin.

Und das was du da oben mit k+1-k machst habe ich mit einer andren Aufgabe verwechselt wo oben noch ein k stand, deshalb hatte ich da k+1-1 aber natürlich steht hier 1 oben und dann muss man eine 0 durch k-k addieren. Aber ansonsten habe ich das genau so gemeint. Ich glaube ich habe mich nur unverständlich ausgedrückt.
Aber genau diese Kleinigkeit mit diesem Sn hatte mir noch gefehlt Augenzwinkern

Wenn ich die Teleskopsumme anwende muss ich doch immer schauen, dass ich eine Differenz hinbekomme oder!? Also so dass sich die meisten Teile rauskürzen.

Also danke auf jeden Fall!

Und wie sieht das mit den andren beiden Aufgaben aus?

07.10.2010, 19:56

Hans A. Plast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Überprüfen eines Grenzwertes einer Reihe

Zitat:

Original von NullKommaNichts
Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j,k=2}^\infty 1/j^k =1 \end{eqnarray*}$

Hier hätte ich das jetzt umgeschrieben und als Summe von $\begin{eqnarray*} (1/j)^k \end{eqnarray*}$ geschrieben, das entspricht der harmonischen Summe und es würde dann da stehen $\begin{eqnarray*} 1/(1-1/j) \end{eqnarray*}$ Da j gegen unendlich geht, würde dann 1/1=1 rauskommen. Stimmt das?

Nein, das stimmt nicht!

Sei $\begin{eqnarray*} j\in\mathbb N,~j\geq 2 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Berechne nun zunächst einmal: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty \left(\frac 1j\right)^k. \end{eqnarray*}$

Dann sollte Dir auffallen, dass auch hier der Teleskopsummentrick zieht, um den Wert der Doppelsumme (der tatsächlich 1 ist) zu berechnen.

07.10.2010, 20:11

NullKommaNichts

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm damn, gibts doch nicht.

Also gut, ich würde die Grenze erstmal nach unten verschieben, das geht doch oder?
Und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (1/j)^{k+2} \end{eqnarray*}$ Dann ziehe ich $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{j})² \end{eqnarray*}$ aus der Summe und erhalte $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{j})²\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{j})^k \end{eqnarray*}$ was die geometrische Reihe ist.

Wie das mit der Teleskopsumme soll...Sry ich mach das mal ohne Latex, hab kaum Zeit -.-
1+ 1/j + 1/j^2 + 1/j^3 + .... + 1/j^k Allerdings sehe ich da null was ich da mit der Teleskopsumme machen soll. Vor allem verstehe ich auch nicht warum meine Möglichkeit das mit der geometrischen Reihe zu machen nicht geht? Oder geht das nur für konkrete Werte?

Ach nein, ich habe gerade selber gesehen, dass das Mist ist was ich da oben geschrieben habe, wenn dann müsste das 1/j^2 selber noch als Summe dargestellt werden...

07.10.2010, 20:29

Hans A. Plast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NullKommaNichts
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (1/j)^{k+2} \end{eqnarray*}$ Dann ziehe ich $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{j})² \end{eqnarray*}$ aus der Summe und erhalte $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{j})²\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{j})^k \end{eqnarray*}$ was die geometrische Reihe ist.

Das stimmt zwar, aber auf diese Weise musst Du etwas mehr umformen.

Betrachte also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty\left(\frac 1j\right)^k=\left(\sum_{k=0}^\infty\left(\frac 1j\right)^k\right)-1-\frac 1j=\frac 1{1-\frac 1j}-\left(1+\frac 1j\right)=\frac j{j-1}-\frac {j+1}j \end{eqnarray*}$

Und dann sollte alles klar sein - oder?

07.10.2010, 20:46

NullKommaNichts

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh man, wieso komme ich denn nie auf so was unglücklich

An sich ist es nicht sooo schwer, aber ich seh den Scheiss einfach nie. Und ich glaube ich werde es auch nicht.
Allerdings muss ich sagen, dass ich da trotzdem nicht wirklich weiter weiß. Wenn ich das jetzt wieder als Partialsumme schreibe Sn= n/(n-1) - n+1/n und das wieder so mache, und nach und nach für j=2 bis n einsetze erhalte ich am Ende 2 - n+1/n =
2 - 1 - 1/n und für n gegen unendlich bleibt 2-1=1 übrig.
Also danke!

Aber wieso kann ich das nicht über die geometrische Reihe am Anfang machen? Brauche ich da wohl immer einen festen Wert?

07.10.2010, 20:58

Hans A. Plast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NullKommaNichts
Allerdings muss ich sagen, dass ich da trotzdem nicht wirklich weiter weiß.

Wo?

Zitat:

Original von NullKommaNichts
Aber wieso kann ich das nicht über die geometrische Reihe am Anfang machen?

Diese Frage verstehe ich nicht?

Zitat:

Original von NullKommaNichts
Brauche ich da wohl immer einen festen Wert?

Und diese noch weniger?

07.10.2010, 21:03

NullKommaNichts

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage des ersten Zitats einfach vergessen Augenzwinkern

Und mit dem "Über-die-geometr.-Reihe-machen" meinte ich das hier:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j,k=2}^\infty 1/j^k =1 \end{eqnarray*}$

Hier hätte ich das jetzt umgeschrieben und als Summe von $\begin{eqnarray*} (1/j)^k \end{eqnarray*}$ geschrieben, das entspricht der harmonischen Summe und es würde dann da stehen $\begin{eqnarray*} 1/(1-1/j) \end{eqnarray*}$ Da j gegen unendlich geht, würde dann 1/1=1 rauskommen. Stimmt das?

Und dass man das wohl nur machen könnte wenn j eine feste Zahl wäre, oder?

Und was ist mit meiner dritten Aufgabe? Stimmt wenigstens das so einigermaßen?

08.10.2010, 12:31

Hans A. Plast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NullKommaNichts

Und mit dem "Über-die-geometr.-Reihe-machen" meinte ich das hier:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j,k=2}^\infty 1/j^k =1 \end{eqnarray*}$

Hier hätte ich das jetzt umgeschrieben und als Summe von $\begin{eqnarray*} (1/j)^k \end{eqnarray*}$ geschrieben, das entspricht der harmonischen Summe und es würde dann da stehen $\begin{eqnarray*} 1/(1-1/j) \end{eqnarray*}$ Da j gegen unendlich geht, würde dann 1/1=1 rauskommen. Stimmt das?

Das kann ich beim besten Willen nicht nachvollziehen. Vor allem sehe ich die harmonische Reihe nirgends.
Davon abgesehen läuft das Ganze so wie ich es Dir nahegelegt hatte doch über die geom. Reihe.

Zitat:

Original von NullKommaNichts
Und was ist mit meiner dritten Aufgabe? Stimmt wenigstens das so einigermaßen?

Die Konvergenz folgt, wie Du richtig begründest, mit dem Leibnizkriterium.
Um einzusehen, dass die Kgz nicht absolut ist kannst Du z.B. so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac k{(k+1)(k+2)}\geq\frac 1{2(k+2)}\text{ für alle } k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

und hast dann mit der harmonischen Reihe eine divergente Minorante.

08.10.2010, 13:35

NullKommaNichts

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok! Danke für die super Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Überprüfen eines Grenzwertes einer Reihe

Verwandte Themen