Kugelkalotte in Zylinderkoordinaten

07.10.2010, 18:42	HeinzSpack2	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelkalotte in Zylinderkoordinaten Meine Frage: Hallo, ich möchte das Volumen einer Kugelkalotte, also der "abgeschnittenen" Kappe einer Halbkugel, mit Zylinderkoordinaten herleiten. Leider fehlen mir die Ungleichungen, die z beschreiben. die obere Grenze muss natürlich wie gehabt wurzel(R²-r²) sein, aber für die untere finde ich keinen sinnvollen Ansatz. Gleiches Problem habe ich auch, wenn ich nach dem Volumen einer Halbkugel suche, bei der diese Kugelkalotte fehlt...müsste dann wahrscheinlich die gleiche Grenze sein, allerdings diesmal als obere Grenze. Schonmal Danke im Vorraus. Gruß. Heinz Meine Ideen: die obere Grenze muss natürlich wie gehabt wurzel(R²-r²) sein, aber für die untere finde ich keinen sinnvollen Ansatz. Gleiches Problem habe ich auch, wenn ich nach dem Volumen einer Halbkugel suche, bei der diese Kugelkalotte fehlt...müsste dann wahrscheinlich die gleiche Grenze sein, allerdings diesmal als obere Grenze. Schonmal Danke im Vorraus. Gruß. Heinz
07.10.2010, 22:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte eine Kugel mit dem Radius R und schneide diese (wie eine Zwiebel) ausgehend vom Nordpol in dünne Scheiben mit der differenziell dünnen der Dicke dz. Die Scheiben liegen parallel zur xy-Ebene. Diejenige Scheibe im Abstand z von der xy-Ebene hat nach dem Satz des Pythagoras den Radius $\begin{eqnarray} r=\sqrt{R^2-z^2} \end{eqnarray}$ __________(1) Das differenzielle Volumen dV einer dünnen Scheibe ist das Produkt "Fläche mal Dicke", also $\begin{eqnarray} dV=r^2\pi dz \end{eqnarray}$ __________(2) Einsetzen von (1) liefert das Scheibenvolumen $\begin{eqnarray} dV=(R^2-z^2)\pi dz \end{eqnarray}$ __________(3) Das Gesamtvolumen der Kugelkalotte ist die Summe aller Scheiben, die abgeschnitten wurden. $\begin{eqnarray} V=\int \! \, dV \end{eqnarray}$ ____________(4) Einsetzen von (3) in (4) liefert $\begin{eqnarray} V=\int_{z_0}^R \! (R^2-z^2)\pi\, dz \end{eqnarray}$ ____________(5) Die Integrationsintervall $\begin{eqnarray} [z_0;R] \end{eqnarray}$ ergibt sich, weil die Volumen aller Scheiben von der z-Koordinate $\begin{eqnarray} z=z_0 \end{eqnarray}$ bis z=R aufsummiert werden. Abintegrieren von (5) ergibt $\begin{eqnarray} V=\left (\frac{2}{3}R^3-R^2z_0+\frac{1}{3}z_0^3 \right ) \pi \end{eqnarray}$ __________(6) Das ist die gesichte Formel für das Volumen der Kugelkalotte. In Tabellenbüchern findet man auch alternative Formeln, wo die Höhe der Kalotte vorkommt. Die Höhe ist offenbar $\begin{eqnarray} h=R-z_0 \end{eqnarray}$ . Damit kann man in (6) die Größe $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ eliminieren, was aus praktischer Sicht bequemer ist. Wählt man als Kugelkalotte speziell eine Halbkugel, muss man in (6) setzen $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ . Dann vereinfacht sich (6) zu $\begin{eqnarray} V=\frac{2}{3}R^3\pi \end{eqnarray}$ _________(7) Das ist das bekannte Volumen der Halbkugel.

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