Quadratzahl

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Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratzahl
Hallo!

Ich kämpfe gerade mit meinem Übungsblatt und hänge an einer Aufgabe fest:

Sie lautet:

Beweisen Sie, dass für alle gilt



Ich weiß überhaupt nicht, wie ich das beweisen soll....Induktion bringt hier, denk ich nichts.... hmmm....
Die Fälle und unterscheiden...?? Ich weiß es einfach nicht!

Kann mir jemand helfen?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

a kann doch nur gerade oder ungerade sein Augenzwinkern

Edit: ups das bringt dich nicht weiter Big Laugh

Mach einfach ne Fallunterscheidung:

a = 3k
a = 3k+1
a = 3k+2
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratzahl
Wenn a durch 3 teilbar ist, dann folgt sofort die Aussage.
Jetzt überlege mal, wenn a bei Division durch 3 Rest 1 oder 2 hat, was dann mit a² ist.

Im übrigen geht auch vollständige Induktion.

EDIT:
irre.reflexiv war etwas schneller, aber nur weil er mich durch seine Aussage "a kann doch nur gerade oder ungerade sein " erstmal ins Grübeln gebracht hat. Augenzwinkern
Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm.... Ich glaub, ich habs noch nicht kapiert...

Wenn ich die Fälle a=3k, a=3k+1 und a=3k+2 unterscheide und dann kann a doch gar nicht negative Werte annehmen? Oder muss dann sein?

Muss ich dann nicht irgendwie zuerst beweisen, dass es die 3 Fälle gibt?


Ok. Dann fang ich mal mit a=3k an...

dann ist a² = 9k = 3 * (3k) dann ist der "ersten" Menge


Sei a= 3k+1:

dann ist a²= (3k+1)² = 9k² + 6k +1 = 3*(3k²+2k) +1

also ist der "zweiten" Menge

Sei a = 3k+2:

dann ist a² = 9k² + 12k +4 = 3 * (3k² + 4k ) + 4

aber zu welcher menge gehört dann das?

Ich glaub, ich habs echt noch nicht verstanden...
Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »

Beim letzten kann ichs glaub ich doch:

a² = 9k² + 12k +4 = 3 * (3k² + 4k ) + 4
= 3 * (3k² + 4k +1) * 1

gehört also zur zweiten Menge...
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Naja für ist

k ist aber erstmal nur in Z. Du müsstest noch zeigen, dass es für ein gibt.

Das es nur drei Fälle gibt ist klar. Denn bei Division durch drei kann es nur die Reste 0,1 und 2 geben. Rest 3 wäre wieder gleichbedeutend mit Rest 0.

Erster Fall:

a=3k => a^2 = 9k^2 = 3*(3k^2) da jetzt liegt a^2 schonmal in der Menge.

Zweiter Fall:

Soweit richtig. Aber auch hier musst du noch untersuchen ob k' = (3k²+2k) in N liegt.

Dritter Fall:

Mal genau hinschauen =)



Edit: Hab deinen zweiten Post erst zu spät gesehen. Abgesehen vom '*' anstatt '+' richtig.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Celeste**
dann ist a² = 9k = 3 * (3k) dann ist

Hüstel. Was ist a² ?

Wenn a < 0 ist, betrachte b := -a. Dann ist b² in der Menge und wegen b² = (-a)² = a², folgt .....
Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja! Stimmt! Dann kann ich aber doch zuerst die Fälle a= 3k und a= -3k annehmen und sie dann "zusammenfassen" zu a² = 9k² oder??

Ok. Wenn k aus N ist dann ist auch k² in N und da 3 aus N ist 3k² aus N ? so ungefähr??

Ich hätt noch ne Frage:

bei der nächsten Aufgabe gehts darum zu beweisen, dass

3a² - 1 keine Quadratzahl ist.

Kann ich dann wieder für a die 3 Fälle annehmen und zeigen, dass 3a²-1 nicht in eine der beiden Mengen liegt??

Also so ungefähr: Sei a = 3k

Dann ist 3a²-1 = 3 (3k)² -1 = 3 *(9k²) - 1

und wegen dem "-" liegt es dann in keiner der beiden Mengen???
Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »

a² = 9k² meinte ich!!! Augenzwinkern
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Warum solltest du zeigen wollen, dass 3a^2 -1 in der Menge liegt? Die Aufgabe ist doch zu zeigen, dass es kein Quadrat ist.
Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich jetzt 3x hintereinander schreibe, aber mir ist grad noch was eingefallen..

wenn a z.B. 0 ist, dann ist 3a² -1 < 0 und deshalb keine Quadratzahl ??
Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »

weil ja jede Quadratzahl in eine der beiden Mengen liegt und ich wollte zeigen dass 3a²-1 eben nicht in eine der beiden liegt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Celeste**
wenn a z.B. 0 ist, dann ist 3a² -1 < 0 und deshalb keine Quadratzahl ??

Verstehe jetzt nicht, was du da sagen willst. Aber in der tat hat der Aufgabensteller was übersehen. Wenn a=0 ist, dann a²=0 und 0 gehört nicht zu der Menge, da das k eine natürliche Zahl ist. Es sei denn, die natürlichen Zahlen wurden hier inklusive 0 defniert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Es sei denn, die natürlichen Zahlen wurden hier inklusive 0 defniert.

So hab ich's z.B. in der Schule gelernt. Augenzwinkern

Vielleicht sollte man ganz "verbieten", und nur noch bzw. zulassen. Big Laugh
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee mit der Quadratzahl ist richtig. Aber du musst da anders rangehen.

Wir haben gezeigt: Jede Quadratzahl lässt sich als 3k oder 3k+1 schreiben.

Also ist der Ansatz: Angenommen 3a^2 - 1 ist eine Quadratzahl.

Dann lässt sie sich als

3a^2 -1 = 3k

oder

3a^2-1 = 3k+1

schreiben. Das lässt sich ganz schnelll zum Widerspruch führen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Angenommen 3a^2 - 1 ist eine Quadratzahl.

Die Frage der Lösbarkeit von ist schon ein ganzes Stückchen von der Problemstellung dieses Threads entfernt.

EDIT: Mist geschrieben im zweiten Satz, gelöscht.
Celeste** Auf diesen Beitrag antworten »

Bei uns ist N mit der Null und N* ohne Null! (Zumindest in Algebra in Analysis nicht) Augenzwinkern


Also ganz ohne die 3 Fälle???

Hmm.... Vielleicht so:?

1.Fall: 3a² -1 ist aus der 1. Menge:

3a² - 1 = 3 (a² - 1/3) da a aus Z ist und somit a² aus N, folgt: (a² - 1/3) ist nicht aus N -> Widerspruch

2. Fall: 3a²-1 ist aus der 2.Menge

3a² -1 = 3 ( a² - 2/3) +1 da a aus Z ist und somit a² aus N, folgt: (a² - 2/3) ist nicht aus N -> Widerspruch


Stimmt das?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Nee. So wie ich angedeutet habe.

Für 3a^2-1 = 3k mit k € N folgt zum Beispiel : 3 | 3a^2-1 -> 3 | (-1) Widerspruch.

Jetzt musst du noch 3a^2-1 = 3k+1 untersuchen.
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