Zeigen, dass N Normalteiler ist

08.10.2010, 12:49	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass N Normalteiler ist Hallo, ich hoffe, hier kann mir jemand helfen! Wir haben einen Satz bewiesen, der besagt, dass die Aussagen i) N Normalteiler in G Gruppe ii) $\begin{eqnarray} gHg^{-1}=H \forall g\in G \end{eqnarray}$ aqiuvalent sind. Nun habe ich zwei Fragen. 1. Das ist aber nur äquivalent, wenn N eine Untergruppe von G ist, oder? Das steht in unserem Satz nicht, aber in der Definition des Normalteilers und sonst verstehe ich den Beweis auch nicht. 2. Wenn wir nun konkret berechnet haben, dass N Notmalteiler ist, haben wir das immer mit Hilfe dieses Satzes getan. Wir haben aber immer nur gezeigt, dass für ein beliebeiges g in G und ein beliebiges h in H $\begin{eqnarray} gHg^{-1} \in H \end{eqnarray}$ gilt. Daraus folgt dann ja, dass $\begin{eqnarray} gHg^{-1}\subseteq H \forall g\in G \end{eqnarray}$ . Aber was ist mit der Richtung $\begin{eqnarray} H\subseteq gHg^{-1} \end{eqnarray}$ ? In unserem Skript steht unter einem Beispiel, dass diese Inklusion stets gilt, aber ich verstehe nicht, warum. Das würde doch bedeuten, dass ich ein beliebiges g aus G nehmen kann und zu jedem h in H ein b in H finde, so dass gilt $\begin{eqnarray} h=gbg^{-1} \end{eqnarray}$ . Wieso gilt es das immer? fin.
08.10.2010, 13:34	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne eure Definition eines Normalteilers nicht. Deswegen ist alles mit Vorsicht zu genießen. Du scheinst irgendwie übrigens zwischen N und H zu wechseln. 1.) Ja dass N UG ist braucht man, sonst könnte jede beliebige Vereinigung H von Konjugationsklassen die zweite Bedingung erfüllen. 2.) $\begin{eqnarray} H \subseteq gHg^{-1} \end{eqnarray}$ wird impliziert von $\begin{eqnarray} g^{-1}Hg \subseteq H \end{eqnarray}$ was nach Vorraussetzung gilt(Wähle als g eben g^-1 in der Vorraussetzung).
13.10.2010, 12:21	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, entschuldige, ich habe tatsächlich manchmal N und manchmal H geschrieben. Zu der 2. Frage: Ich verstehe deine Erklärung nicht ganz. Folgendes verstehe ich: Sei $\begin{eqnarray} g^{-1}Hg\subseteq H \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} h \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ beliebig. $\begin{eqnarray} \Rightarrow g^{-1}hg \in H \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} h=gg^{-1}hgg^{-1} \in gHg^{-1} \end{eqnarray}$ Aber wieso gilt $\begin{eqnarray} g^{-1}Hg\subseteq H \end{eqnarray}$ überhaupt?
13.10.2010, 12:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation mit g ist eine bijektive Abbildung. Also gilt: $\begin{eqnarray} H \subseteq gHg^{-1} \Rightarrow Hg \subseteq gH \end{eqnarray}$ Dasselbe nochmal mit Multiplikation mit g^-1 von links
16.10.2010, 16:02	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Da H ja nicht kommutativ sein muss, muss ich ja Links- und Rechtsmultiplikation unterscheiden. Könntest du mir das Argument erklären?
16.10.2010, 16:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \phi_g(x) = xg \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} _g\phi(x) = gx \end{eqnarray}$ . Die beiden Abbildungen sind bijektiv(nachrechnen falls du es nicht glaubst). Für bijektive Abbildungen f gilt: $\begin{eqnarray} U\subset V \Rightarrow f(U) \subset f(V) \end{eqnarray}$ Jetzt gilt aber $\begin{eqnarray} H \subseteq gHg^{-1} \end{eqnarray}$ . Damit gilt: $\begin{eqnarray} g^{-1}Hg = \phi_g( _{g^{-1}}\phi(H)) \subseteq \phi_g( _{g^{-1}}\phi(gHg^{-1})) = H \end{eqnarray}$
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19.10.2010, 12:22	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön! Jetzt hab ichs verstanden.

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