Integrationsaufgabe (Parabelbögen, Fourier)

08.10.2010, 16:22	Larusso	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsaufgabe (Parabelbögen, Fourier) Meine Frage: Hallo Matheboardler, ich mache mich derzeit mit der Fourier-Reihen vertraut. Stoße nun allerdings aufgrund meiner nicht besonders stark ausgeprägten Integrationsfähigkeiten an meine Grenzen bei einer eigentlich machbaren Aufgabe: Gegeben: periodische Funktion aus Parabelbögen mit Periodenintervall : $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq 2\pi \end{eqnarray}$ Funktionsgleichung : $\begin{eqnarray} f(x) = x(2\pi -x) \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Fourier-Reihe dieser Funktion a0 habe ich dann über das enstsprechende Integral gelöst und 13,159 erhalten. Für an gilt nun: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{1}{\pi } \int_a^b \! (2x-x^{2})\cos(nx) \, dx \end{eqnarray}$ wobei a= 0, b= $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ Dieses Integral bereitet mir nun Kopfzerbrechen.. Wie löse ich es? Meine Ideen:* Bin dort jetzt mit partieller Integration rangegangen a la: $\begin{eqnarray} u = 2\pi x - x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u^{'} = 2\pi -2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = \frac{1}{n}sin(nx) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v^{'}= cos(nx) \end{eqnarray}$ und komme auf ein sehr langes und unübersichtliches Ergebnis. Habt ihr da einen eleganteren Weg oder hab ich mich gar verrechnet? $\begin{eqnarray} F(x) = (2\pi x - x^{2}) \frac{1}{n} \sin(nx)+ (2\pi-2x)\frac{1}{n^{2} } \cos(nx) - \frac{2}{n^{3} }\sin(nx)\|_a^b \end{eqnarray*}$ in den Grenzen von 0 bis 2pi
08.10.2010, 18:01	Larusso	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht alle auf einmal bitte und vielen Dank für die tatkräftige Unterstützung. Nach langem Kopfzerbrechen habe ich das Ergebnis selber raus. Es ist: $\begin{eqnarray} an= \frac{-4}{n^{2} } \end{eqnarray}$ da: $\begin{eqnarray} sin(n2\pi) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(n2\pi) = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$

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