Ist eine Menge, die sich selber als Menge enthält unendlich groß? |
| 08.10.2010, 16:45 | seroland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ist eine Menge, die sich selber als Menge enthält unendlich groß? sei die Menge M wie folgt definiert: M={1,2,5,M}. Wenn ich das jetzt auflöse bekomme ich M={1,2,5,{1,2,5,M}} dieses würde dann ergeben M={1,2,5{1,2,5,{1,2,5{1,2,5M}} usw. Habe ich da einen Denkfehler oder ist das so?! 
Viele Grüße Sebastian |
||||||
| 08.10.2010, 16:49 | stefan_math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gleiche elemente werden nicht doppelt gezählt soweit ich das weiß also die menge A={1,1,2,3,2,4} ist das selbe wie die Menge B={1,2,3,4} würde ich sagen
daher zu deiner frage: Nein
|
||||||
| 08.10.2010, 16:56 | Muff Potter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Au Weia, Mengen die sich selbts als Element enthalten... 
Zunächst mal hat M 4 Elemente und ist somit nicht "unendlich groß". Ob so eine rekursive Definition statthaft ist, muss ein Mathe-Experte entscheiden...
Grundsätzlich sollen Mengen ja "wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen " sein, und ob das bei einer solchen rekursiven Menge der Fall ist...?
|
||||||
| 08.10.2010, 16:58 | Booker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Menge hat genau 4 Elemente. 1,2,5 und M. 4< unendlich behaupte ich mal. M ist allerdings wieder eine Menge, die aus 4 Elementen besteht. Dadurch hat die Ausgangsmenge aber nicht mehr Elemente, sondern ein Element der Ausgangsmenge besteht aus mehreren Elementen... Hoffe ich habe mich irgendwie verständlich ausgedrückt. |
||||||
| 08.10.2010, 16:59 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Menge kann per Definition nicht sich selbst enthalten. Obiges M macht daher keinen Sinn. |
||||||
| 08.10.2010, 17:02 | stefan_math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist nicht jede menge teilmenge von sich selbst per definition? => ne menge kann element von sich selber sein? oder sind das zwei paar schuhe? |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 08.10.2010, 17:02 | sergej88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Frage wurde zwar beantwortet aber hier kann man genaueres Nachlesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie das Problem gibt es schon ziehmlich lange... mfg |
||||||
| 08.10.2010, 17:11 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... und wurde weitgehend gelöst. stefan math verfehlt das Problem. Sly macht eine Aussage, die man in der sogenannt «naiven Mengenlehre» evtl. gelten lassen kann. Sobald man aber die Mengenlehre axiomatisch aufzieht (Beispiel: Zermelo-Mengenlehre), ist dieses Verbot, dass die Menge sich selbst nicht enthalten kann, nicht mehr nötig und wird auch nicht eingesetzt. Im Gegenteil, es wurde gezeigt, dass wenn es ein widerspruchsfreies Modell gibt, dann sicher auch eines mit unendlich vielen Mengen vom Typ M = {M}.
Ja, es ist so. (M hat trotz allem genau 4 Elemente.) |
||||||
| 08.10.2010, 18:35 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, du weißt ja selber auf das Fundierungsaxiom hin. Das kann man natürlich weglassen, dann betreibt man allerdings nicht mehr die Mengenlehre, die (zumindestens fast) alle Mathematiker sonst betreiben. In der heute normalen Mengenlehre gibt es eine solche Menge einfach nicht. |
||||||
| 08.10.2010, 19:05 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da täuschst du dich aber gewaltig. Tatsache mag sein, dass sich die wenigsten Mathematiker darüber Gedanken machen. Aber jeder Axiomatiker geht davon aus, dass er fähig wäre, zu bezeichnen, welche Mengen er aus einem Mengenlehrmodell für seine Modelle (z.B. Graphen eines Graphentheoretikers) heranziehen würde. Und dafür eignen sich eben die Mengen vom Typ M={M} wie keine anderen (mit Ausnahme der leeren Menge). «In der heute normalen Mengenlehre ...» bescheinigt ja, wie wenig man sich Rechenschaft gibt, womit man es zu tun hat: Wer weiss denn heute schon, was die NORMALE Mengenlehre ist? |
||||||
| 08.10.2010, 20:31 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohne Mengenlehre geht in der Mathematik gar nichts, weil im Prinzip alles auf Mengenlehre und Logik aufbaut (Siehe zum Beispiel die Konstruktion der natürlichen Zahlen aus der leeren Menge). Normalerweise nutzt man hier ZFC, auch wenn das nicht immer dabeisteht, da das als klar vorrausgesetzt wird. Und in ZFC gibt es solch eine Menge einfach nicht, da hier das Fundierungsaxiom gilt. Da der TE, der sicherlich Anfänger ist, nichts dazugeschrieben hat, in welchem Mengensystem er sich bewegt, sollte man davon ausgehen, das er sich in ZFC bewegt. Natürlich kann man auch ein anderes Axiomensystem wählen, dann sollte man das allerdings dazusagen. Ein anderes Beispiel dazu: Ich könnte ja zum Beispiel auch sagen, dass die Folge in nicht konvergent ist. Das ist ja auch richtig, wenn man zum Beispiel mit der diskreten Topologie ausstattet. Das müsste ich allerdings dazuschreiben, denn wenn man nichts dazuschreibt, kann der Leser davon ausgehen, dass ich die Standarttopologie verwende (oder Metrik bzw. die Definition aus Ana1). |
||||||
| 08.10.2010, 21:32 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was die Namensgebung angeht, irrte ich: Mit ZFC ist ein System mit Fundierung gemeint. Jeder treibt es nach seiner Facon: Ich bediene mich einer Mengenlehre, die es gestattet, sich die Elemente etwa eines Vektorraumes als Mengen vom Typ M={M} vorzustellen, da mich das Innenleben der Vektoren nicht interessiert. Du bedienst dich einer Mengenlehre, die es verbietet, sich die Elemente etwa eines Vektorraumes als Mengen vom Typ M={M} vorzustellen, sodass jeder Vektor eine Menge mit nirgends deklarierten Elementen ist. Schlimmer noch: Diese Elemente sind ja selber wieder Mengen (in einer axiomatischen Mengenlehre gibt es nichts weiter als Mengen) mit Elementen und diese wiederum ... Offenbar ist beiden wohl dabei. |
||||||
| 08.10.2010, 22:42 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist genau so. Ein einfacher Vektor aus dem besteht aus reellen Zahlen, die in so ineinander verschachtelten Mengen plaziert sind, dass eine Ordnung festgelegt wird. Die reellen Zahlen selbst sind Mengen von rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind Äquivalenzklassen von Tupeln ganzer Zahlen. Die ganzen Zahlen sind Äquivalenzklassen von Tupeln natürlicher Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind verschachtelte Mengen, die letztendlich aus der leeren Mengen aufgebaut sind. Selbst wenn wird den komplizierten Schritt mit den dedekind-cuts weglassen: Wir bräuchten sehr viel Platz, wenn wir derart ausschreiben wollten. Trotzdem ist klar, dass verschiedene Vektoren aus dem verschiedene Mengen sind. Das finde ich bemerkenswert. |
||||||
| 09.10.2010, 00:05 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klar kann man aus Zahlen (aufgebaut aus Mengen, letztlich der leeren Menge) einen Vektorraum machen. Die Frage stellt sich für die abstrakten Modelle der Strukturmathematik; und ist offenbar eine ästhetische. (Und schon Euklid fragte sich, was denn die Teile eines Punktes sein sollten.) |
||||||
|
|
