Riemann-integrierbar?

08.10.2010, 17:09

NullKommaNichts

Riemann-integrierbar?

Ich hänge hier gerade bei dem Thema "Riemann-integrierbar".
Gegeben ist die Fragestellung:
Warum ist
f:[0,unendlich[-->R mit f(x):= 1. $\begin{eqnarray*} x^n *lnx \end{eqnarray*}$ (x>0) und 2.= 0 (x=0)
auf dem Intervall [0,1] Riemann-integrierbar? n>=0

Ich habe als Satz für Riemann-Integrierbarkeit da stehen:
"Jede stetige Fkt. auf einem abgeschlossenen Intervall ist Riemann-integrierbar."

Also 1. die Abgeschlossenheit ist ja schon mal gegeben durch das abgeschlossene Intervall.
So 2. Müsste ich die Stetigkeit nachweisen. Damit hab ich mordsmäßige Probleme, weil ich nie gecheckt habe wie das geht.
Normalerweise müsste doch $\begin{eqnarray*} lim f(x) = f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ sein, für x gegen 0 in diesem Falle oder?

Nun dann habe ich $\begin{eqnarray*} lim x^n * lnx \end{eqnarray*}$ so, da der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht und der Grenzwert für lnx gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ müsste der Grenzwert der Funktion gegen 0 gehen. D.h. $\begin{eqnarray*} lim f(x) =f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ und somit ist die Funktion stetig. D.h. die Funktion ist in dem gegebenen Intervall stetig.

Stimmt meine Argumentation so weit? Und vor allem stimmt es, wie ich die Stetigkeit nachgewiesen habe? Weil, wie gesagt, ich habe mega Probleme mit dieser doofen Stetigkeit. Ich bin mir auch nicht ganz sicher ob ich den lim bei dieser Fkt. einfach so bestimmen kann, da es sich ja um 2 zusammengesetzte Funktionsteile geht. Bei e^x /x z.B. muss man ja auch L'Hospital anwenden. Muss ich den nur da anwenden, wo die Lösung nicht eindeutig ist? Weil wenn ich bei dem Bsp. gerade x gegen 0 habe, dann wäre es nicht definiert, also gäbe es keine eindeutige Lösung, deswegen wende ich L'Hospital an und erhalte dann 1 als Grenzwert. Da im Nenner dann 1 steht und im Zähler e^0=1. Und in der Aufgabe oben ist es aber eindeutig, dass es gegen 0 geht, weil ein Grenzwert =0 ist. Stimmt meine Argumentation?

Danke schon mal für die Hilfe!

08.10.2010, 17:12

tmo

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Es gilt in der Tat $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^n \ln x =0 \end{eqnarray*}$ für n > 0. D.h. in dem Fall ist die Funktion schonmal stetig, also Riemann-integrierbar. Du hast hier aber dafür kein Beweis geliefet. Noch nichtmal ansatzweise. Da muss also noch was kommen.

Weitere Gedanken muss man sich natürlich noch um n=0 machen. Dann ist f nämlich nicht stetig.

08.10.2010, 17:21

NullKommaNichts

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Hää, das verstehe ich nicht. Wieso ich hab doch nachgewiesen, dass der lim f(x)=f(x0) ist wobei x0=0 ist. Also ist das hier stetig, da ja da steht, dass die Fkt. für x=0 gleich 0 sein soll.

Und nach dem Satz den ich hier stehen habe ist jede stetige und abgeschlossene Funktion Riemann-integrierbar. Ich muss ja nur diesen markanten Punkt 0 überprüfen, da x^n*lnx für x>0 und n>0 ja immer eine stetige Funktion ist. Also müsste das doch reichen. Verstehe nicht, was ich da jetzt noch machen soll...

Ach und sorry ich habe gerad gesehen, dass in der Angabe auch steht n>=1, nicht 0.

08.10.2010, 17:26

tmo

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Zitat:

Original von NullKommaNichts
Hää, das verstehe ich nicht. Wieso ich hab doch nachgewiesen, dass der lim f(x)=f(x0) ist wobei x0=0 ist. Also ist das hier stetig, da ja da steht, dass die Fkt. für x=0 gleich 0 sein soll.

Das mag ja alles stimmen. Aber ein Beweis, dass dieser Grenzwert 0 ist, kann ich beim besten Willen nicht erkennen.

Zitat:

Original von NullKommaNichts
Und nach dem Satz den ich hier stehen habe ist jede stetige und abgeschlossene Funktion Riemann-integrierbar. Ich muss ja nur diesen markanten Punkt 0 überprüfen, da x^n*lnx für x>0 und n>0 ja immer eine stetige Funktion ist. Also müsste das doch reichen. Verstehe nicht, was ich da jetzt noch machen soll...

Das ist auch richtig. Aber wie gesagt: Die Untersuchung dieses markanten Punktes muss noch genauer erfolgen.

Zitat:

Original von NullKommaNichts
Ach und sorry ich habe gerad gesehen, dass in der Angabe auch steht n>=1, nicht 0.

Das macht die Sache natürlich einfacher. Nun musst du nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x\ln x =0 \end{eqnarray*}$ gilt. Für jede größere Potenz von x folgt es dann sofort (Warum?)

08.10.2010, 17:37

NullKommaNichts

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Zitat:

Original von tmo
Das macht die Sache natürlich einfacher. Nun musst du nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x\ln x =0 \end{eqnarray*}$ gilt. Für jede größere Potenz von x folgt es dann sofort (Warum?)

Also erstmal zu dem warum. Weil für x zwischen 0 und 1 die Werte mit steigendem n immer kleiner werden, also gegen 0 gehen, würde ich sagen.

So und den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x\ln x =0 \end{eqnarray*}$ erhalte ich doch daraus, wie ich es oben beschrieben habe. Man könnte das doch auch als $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}lnx \end{eqnarray*}$ schreiben oder?! Und dann bekomme ich für den ersten Teil =0 raus und für den zweiten Teil -unendlich. Und 0* -unendlich ist normalerweise 0. Aber wahrscheinlich ist das falsch, weil ich das nicht einfach so machen kann. Ich sag ja ich hab da bei dem Grenzwertzeug teilweise voll die Probleme -.-

08.10.2010, 17:41

tmo

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Zitat:

Original von NullKommaNichts

Zitat:

Also erstmal zu dem warum. Weil für x zwischen 0 und 1 die Werte mit steigendem n immer kleiner werden, also gegen 0 gehen, würde ich sagen.

Du meinst wohl das richtige. Aber drück es doch auch mal formal aus: Für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |x^n| \leq |x| \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} |x^n \ln x| \leq |x \ln x| \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Sache gegessen.

Zitat:

Original von NullKommaNichts
So und den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x\ln x =0 \end{eqnarray*}$ erhalte ich doch daraus, wie ich es oben beschrieben habe. Man könnte das doch auch als $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}lnx \end{eqnarray*}$ schreiben oder?! Und dann bekomme ich für den ersten Teil =0 raus und für den zweiten Teil -unendlich. Und 0* -unendlich ist normalerweise 0. Aber wahrscheinlich ist das falsch, weil ich das nicht einfach so machen kann. Ich sag ja ich hab da bei dem Grenzwertzeug teilweise voll die Probleme -.-

Du hast es richtig erahnt. Diese Argumentation ist falsch. $\begin{eqnarray*} 0 \cdot - \infty \end{eqnarray*}$ ist ein unbestimmter Audruck, da gibt es kein "normalerweise". Entsprechend kann man hier auch keine Grenzwertsätze anwenden.
Aber du kennst bestimmt schon Methoden um den Grenzwert 0 doch nachzuweisen.

08.10.2010, 17:50

NullKommaNichts

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Ok, bei solchen Sachen muss ich dann immer L'Hospital anwenden. Ich schreibe als quasi lnx/(1/x) hier oben und unten die Ableitung ist doof, das bringt mir nicht viel, deswegen setze ich y=1/x und erhalte ln(1/y)/y der lim soll jetzt für y gegen unendlich gehen. Erstmal die Ableitung von oben und unten, dann erhalte ich insgesamt -1/y*1 und wenn nun y gegen unendlich geht ist der limes =0. Also ist der Grenzwert =0.
Also ich hoffe das passt jetzt so. Abgesehen, dass ich in er mündlichen Prüfung nie drauf kommen würde, dass die Ableitund des ln(1/x)=-1/x ist müsste ich das hinkriegen, also falls das jetzt überhaupt richtig ist.

Ich glaube ich hätte es sogar noch ein bisschen anders machen können. Ich hätte es auch ohne y machen können und hätte dann -x²/x bekommen und das ist =-x und für x gegen 0 =0.

08.10.2010, 17:58

tmo

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Das ist soweit richtig.

Aber noch ein paar Anmerkungen:

1. Du musst sicher nicht immer l'Hospital anwenden. Im Gegenteil: Es gibt eigentlich immer einen Weg ohne l'Hospital. Der bedarf halt meistens etwas mehr Überlegung und Kreativität.

2. Was genau hat dich an $\begin{eqnarray*} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ gestört? Beide Ableitungen sind doch schnell berechnet.
Das hat sich wohl dann nach deinem Edit erledigt. Oft ist es einfacher als man denkt.

3. Warum würdest du in einer Prüfung nicht auf die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \ln(\frac{1}{y}) \end{eqnarray*}$ kommen? Ableiten ist doch bei Standardfunktion und ihren Kompositionen irgendwann nur noch ein Handwerk (das man schon in der Schule lernt). Sollte doch kein Problem sein. Nur Mut Augenzwinkern

08.10.2010, 18:08

NullKommaNichts

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Zu 1. Ok, aber meine Mathefähigkeiten halten sich in Grenzen, deswegen nehme ich dann doch lieber L'Hospital.
2. Das hab ich erst auf den 2. Blick gesehen Augenzwinkern

3.Mit den Ableitungen beim ln tue ich mir immer ziemlich schwer, das gilt auch für das Integrieren. Mir ist grad immer noch nicht ersichlich warum aus $\begin{eqnarray*} \ln(\frac{1}{y}) \end{eqnarray*}$ -1/y wird. EDIT ok jetzt sehe ich es gerade dank Wolfram-Alpha dass an sich x*(-1/x²) rauskommt, ich dachte mir doch, dass man da noch nachdifferenzieren muss.

Aber ich danke dir für deine super Hilfe! So von der Argumentation bzgl. Riemann-integrierbar hat es aber gepasst oder? Nur die Ausführung war eher mangelhaft. Naja immerhin hätte ich grob gewusst wie man das zu machen hat.

Achja übrigens geniale Signatur Freude

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