Rotationen im R³ mit Quaternionen: Hilfe bei Termumformung erbeten

09.10.2010, 13:49	René Schwarz	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationen im R³ mit Quaternionen: Hilfe bei Termumformung erbeten Hallo, seit einigen Tagen versuche ich mich in das Thema "Quaternionen" einzulesen (leider war dies nicht Inhalt meines Studiums). Unter anderem habe ich diese Seite gefunden, die IMHO auch die Rechenregeln sehr gut zusammenfasst. Ich versuche den Abschnitt "Nachweis der Korrektheit der Drehformel" nachzuvollziehen. Ich komme allerdings bei folgender Termumformung (die auch auf der Seite zu finden ist) nicht weiter: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{array}{ll}<br /> \left[ s, t \vec{u} \right] \cdot \left[ 0,\vec{x} \right] \cdot \left[ s,-t \vec{u} \right] \\ \begin{split} = & \left[ - \langle t \vec{u}, \vec{x} \rangle, s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x} \right] \cdot \left[ s, -t \vec{u} \right] \\ = & \left[ -t \langle \vec{u},\vec{x} \rangle , s\vec{x}+t\vec{u} \times \vec{x} \right] \cdot \left[ s, -t \vec{u} \right] \\ = & \left[ -t \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle s - \langle s \vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}, -t \vec{u} \rangle, \right. \\ & \left. -t \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle \cdot (-t \vec{u})+s (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) + (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) \times (-t\vec{u}) \right] \\ = & \left[ -st \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle - \langle s \vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}, -t \vec{u} \rangle, \right. \\ & \left. t^2 \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle \vec{u} +s (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) + (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) \times (-t\vec{u}) \right] \\ = & \left[ -st \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle - (\langle s \vec{x}, -t\vec{u} \rangle + \langle t\vec{u} \times \vec{x}, -t\vec{u} \rangle), \right. \\ & \left. t^2 \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle \vec{u} +s (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) + (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) \times (-t\vec{u}) \right] \\ = & \left[ -st \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle - (- st \langle \vec{x}, \vec{u} \rangle - t^2 \langle \vec{u} \times \vec{x}, \vec{u} \rangle), \right. \\ & \left. t^2 \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle \vec{u} +s (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) + (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) \times (-t\vec{u}) \right] \\ = & \left[ \underbrace{-st \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle + st \langle \vec{x}, \vec{u} \rangle}_{= 0} + t^2 \langle \vec{u} \times \vec{x}, \vec{u} \rangle, \right. \\ & \left. t^2 \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle \vec{u} +s (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) + (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) \times (-t\vec{u}) \right] \\ = & \left[ t^2 \langle \vec{u} \times \vec{x}, \vec{u} \rangle, \right. \\ & \left. t^2 \langle \vec{u}, \vec{x} \rangle \vec{u} +s (s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) +(s\vec{x} + t\vec{u} \times \vec{x}) \times (-t\vec{u}) \right] \end{split} \end{array}<br /> \end{eqnarray}$ Wie man ersehen kann (ohne, dass ich jetzt die Termumformung weiter durchführe) komme ich bei dem Skalaranteil des Quaternions nicht auf 0 (auch das Vorzeichen ist falsch), wie es eigentlich sein sollte. Ich muss also einen Fehler während der Umformung gemacht haben. Selbst nach mehreren Stunden Fehlersuche komme ich nicht so recht weiter. Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann und den Fehler entdeckt. Vielen Dank für eure Hilfe und beste Grüße, René
10.10.2010, 22:16	René Schwarz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da bisher leider keine Antwort erfolgte, habe ich exakt die gleiche Frage in diesem Forum gestellt.
11.10.2010, 08:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Du wunderst dich, daß dir niemand antwortet? Worauf sollte er denn antworten? Du schreibst ohne jeden Kommentar seitenlange Rechnungen und sagst: Sucht mir bitte den Fehler! Dabei weiß man nicht einmal, worauf du hinaus willst. Ich habe es schon so oft erlebt, daß man das durchgeht und irgendwelche Fehler sucht, und nachdem der Strang dann zehn Seiten groß ist, kommt der Fragesteller und sagt: Äh, da am Anfang, da soll es b und nicht a heißen, und xy statt yz. Und die ganze Arbeit war für die Katz. 2. Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper. Warum nutzt du nicht aus, daß man bis auf die Kommutativität wie gewohnt rechnen kann und verwendest stattdessen diese unübersichtliche Darstellung mit den eckigen Klammern? 3. In der Darstellung wäre es hilfreich, Skalare einheitlich zu kennzeichnen, zum Beispiel durch griechische Buchstaben. Das würde die Lesbarkeit deutlich erhöhen. Und genau so mache ich das jetzt. Dann schreibt sich dein Term nämlich so: $\begin{eqnarray} \left( \sigma e + \tau u \right) x \left( \sigma e - \tau u \right) \end{eqnarray}$ Dabei bezeichne $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ das Einselement. Und jetzt multipliziert man das aus und erhält sofort $\begin{eqnarray} = \sigma^2 x - \sigma \tau xu + \sigma \tau ux - \tau^2 uxu \end{eqnarray}$ Für rein imaginäre (d.h. vektorielle) Quaternionen $\begin{eqnarray} u,x \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} u \times x = \frac{1}{2} \left( ux - xu \right) \end{eqnarray}$ . Setzt man das hier über $\begin{eqnarray} u,x \end{eqnarray}$ voraus, dann geht es so weiter: $\begin{eqnarray} = \sigma^2 x + 2 \sigma \tau ~ u \times x - \tau^2 uxu \end{eqnarray}$ Und jetzt kommt es auf die Absicht an, wie man weiterrechnen will. Man könnte z.B. $\begin{eqnarray} uxu \end{eqnarray}$ weiter umformen. Für rein imaginäre Quaternionen $\begin{eqnarray} y,z \end{eqnarray}$ gilt ja die Regel: $\begin{eqnarray} yz = y \times z - \langle y,z \rangle e \end{eqnarray}$ worin die spitzen Klammern das Standardskalarprodukt bezeichnen. Aber ich will hier einmal nicht weitermachen, da ich ja nicht weiß, worauf du hinaus willst. Du kannst, wenn du willst, meine Rechnung mit deiner vergleichen. Vielleicht findest du dann deinen Fehler.
11.10.2010, 09:08	René Schwarz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, auch wenn ich deine Antwort unangemessen aggressiv empfinde, möchte ich dir wie folgt antworten: (1) Ich habe sogar sehr deutlich spezifiziert, an welcher Stelle ich nicht weiterkomme bzw. einen Fehler vermute: Der Skalaranteil des Quaternions ist nicht 0 und somit von der (kurzen) Herleitung auf der o.g. Seite verschieden. Die "seitenlangen Gleichungen" habe ich geschrieben (was im Übrigen auch in LaTeX mit erheblichen Aufwand verbunden ist), um jeden einzelnen Schritt der Termumformung und meine Gedankengänge aufzuzeigen. Ich erkenne daran nichts Falsches, im Gegenteil, gerade zur Fehlerkorrektur ist der Rechenweg nunmal notwendig. Es kann natürlich sein, dass ich mich irre und du Fehler aus einem Endergebnis sofort separieren kannst -- in diesem Fall mein voller Respekt. Ich und wahrscheinlich 99% aller anderen Forumsbenutzer kann dies nicht. (2) Die Darstellung mit den eckigen Klammern empfinde ich als übersichtlicher. Sie wird durchaus in der Literatur verwendet, so dass ich hierbei kein Problem ersehen kann?! (3) Alle Skalare in meiner Rechnung sind sofort offensichtlich: Alle Zeichen, die nicht mit einem Vektorpfeil versehen sind, sind Skalare. Einfacher dürfte es wohl nicht gehen... In deiner Darstellung hingegen kann man weder Vektoren und Skalare erkennen, ohne dass man weiß, dass du griechische Buchstaben für Skalare verwendest. Wie du ersehen kannst, sehe ich deine Kritik an allen Stellen für unangebracht. Mittlerweile liegt mir auch eine Lösung in dem von mir zuvor genannten Forum vor. Derjenige hat offensichtlich sofort und ohne Rückfrage erfasst, was der Kern meiner Frage war und nörgelte nicht an (korrekten) Schreibweisen herum. Dennoch danke ich dir für deine Antwort und die damit verbundenen Mühen.

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