Funktionsscharen

09.10.2010, 15:33

6464s54da665s4a65d4

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Funktionsscharen

Meine Frage:
Durch $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_t(x)=x^{3}-(t-4t^2)x^2, t\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist eine Funktionenschar gegeben. Für t=1 ist der Graph rechts dargestellt.
Berechnen Sie die x-Koordinaten der Wendestellen der Funktionenschar!
Für welche Werte von t sind diese x-Koordinaten positiv?

b) Für welches t wird die x-Koordinate des Wendepunktes maximal?

c) Berechnen Sie die Steigung m der Wendetangente für den in b) berechneten Parameterwert von t!

d) Eine andere Funktionenschar gt mit t>0 besitzt die Hochpunkte H(2/3t|9/2t)
Auf dem Graphen welcher Funktion liegen die Hochpunkte dieser Funktionenschar?

Meine Ideen:
Also die x Koordinate der Wendestellen ist x=1/3t-4/3t^2 aber die anderen Aufgaben sind mir ein Rätsel.

09.10.2010, 17:02

klarsoweit

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RE: Funktionsscharen
zu b: Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} x_w = \frac 1 3 t - \frac 4 3 t^2 \end{eqnarray*}$ . Somit ist x_w eine von t abhängige Funktion, von der man mit den bekannten Methoden das Maximum bestimmen kann.

09.10.2010, 17:12

6464s54da665s4a65d4

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RE: Funktionsscharen
Also einfach $\begin{eqnarray*} w(t)=\frac{1}{3}t- \frac{4}{3}t^2 \end{eqnarray*}$ ableiten, sodass

$\begin{eqnarray*} w'(t)=1/3-8/3t \end{eqnarray*}$

und dann mit 0 gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}t \end{eqnarray*}$

Es kommt $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ raus

So?

09.10.2010, 17:16

klarsoweit

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RE: Funktionsscharen
Im Prinzip ja, allerdings hat dein Ergebnis das falsche Vorzeichen und da f schon als Funktionsbezeichung für die Funktionsschar verbraucht ist, würde ich da w(t) (w wie Wendepunkt) verwenden.

09.10.2010, 17:26

6464s54da665s4a65d4

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Jetzt müsste es stimmen, kannst du mir auch mit den anderen Aufgaben helfen?

09.10.2010, 18:12

klarsoweit

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Also Aufgabe c solltest du mit etwas Nachdenken selber können. Oder wo ist da das Problem?

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09.10.2010, 18:37

6464s54da665s4a65d4

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Einfach xw in die erste Ableitung und ausrechnen ergibt
$\begin{eqnarray*} m= 3x^2-2x(1/8-4(1/8)^2) (=) m= 1/32 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

09.10.2010, 21:41

6464s54da665s4a65d4

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Kann mir jemand beantworten:

Für welche Werte von t sind diese x-Koordinaten positiv?

und die Aufgabe d?

Vielen dank!

10.10.2010, 11:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von 6464s54da665s4a65d4
Einfach xw in die erste Ableitung und ausrechnen ergibt
$\begin{eqnarray*} m= 3x^2-2x(1/8-4(1/8)^2) (=) m= 1/32 \end{eqnarray*}$

Was hast du dann für x eingesetzt? verwirrt

verwirrt

10.10.2010, 16:54

6464s54da665s4a65d4

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Ehrlichgesagt weiss ich es auch nicht mehr. verwirrt

verwirrt

Aber wenn ich xw für x einsetze und 1/8 für t kommt

$\begin{eqnarray*} m= -\frac{1}{768} \end{eqnarray*}$ raus

Ist dies denn richtig?

10.10.2010, 17:14

klarsoweit

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Das habe ich auch raus.

10.10.2010, 17:33

6464s54da665s4a65d4

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Kannst du mir denn noch mit den anderen Aufgaben behilflich sein? Ich habe überhaupt keine Startidee...

11.10.2010, 08:47

klarsoweit

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RE: Funktionsscharen

Zitat:

Original von 6464s54da665s4a65d4
d) Eine andere Funktionenschar gt mit t>0 besitzt die Hochpunkte H(2/3t|9/2t)
Auf dem Graphen welcher Funktion liegen die Hochpunkte dieser Funktionenschar?

Offensichtlich gilt für die Koordinaten der Hochpunkte $\begin{eqnarray*} x = \frac 2 3 t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \frac 9 2 t \end{eqnarray*}$ . Löse die 1. Gleichung nach t auf und setze dies in die 2. Gleichung ein.

11.10.2010, 10:53

6464s54da665s4a65d4

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Da bekomme ich $\begin{eqnarray*} y = \frac{27}{4}x \end{eqnarray*}$ heraus.

11.10.2010, 11:47

klarsoweit

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Und damit hast du die gewünschte Funktionsgleichung des Graphen.

11.10.2010, 11:54

6464s54da665s4a65d4

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vielen dank!

zu: Für welche Werte von t sind diese x-Koordinaten positiv?

Ich hab mir gedacht, dass man eine Ungleichung aufstellt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}t-\frac{4}{3} t^2 > 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiss aber nicht, wie ich das berechnen soll, es kommt immer $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t>1/4 \end{eqnarray*}$ raus, das letztere kann ja aber nicht stimmen, es sollte kleiner und nicht grösser als 1/4 sein verwirrt

verwirrt

11.10.2010, 12:08

klarsoweit

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Klammere links ein t aus und überlege, wann ein Produkt positiv ist.

11.10.2010, 12:29

6464s54da665s4a65d4

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$\begin{eqnarray*} t(\frac{1}{3} - \frac{4}{3} t) \end{eqnarray*}$

Ein Produkt ist grösser als Null wenn ihre Vorzeichen gleich sind.

11.10.2010, 12:43

6464s54da665s4a65d4

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Es ist mir klar, dass t kleiner als 1/4 sein muss, doch rechnerisch kommt da aber grösser als 1/4 raus?

1/3-4/3t > 0 | *3
1-4t > 0 | -1
-4t > -1 | :-4
t > 1/4

11.10.2010, 13:01

Mulder

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Zitat:

Original von 6464s54da665s4a65d4
1-4t > 0 | -1
-4t > -1 | :-4
t > 1/4

Du musst bei Ungleichungen schon etwas mehr aufpassen als bei Gleichungen. Auf beiden Seiten mit Minus irgendwas zu multiplizieren ist tödlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 1 < 2 \end{eqnarray*}$

heißt nicht, dass auch

$\begin{eqnarray*} -1 < -2 \end{eqnarray*}$

ist. Gegebenenfalls musst du das Ungleichheitszeichen dann umkehren.

11.10.2010, 13:05

6464s54da665s4a65d4

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Ahhh das war mein Fehler Hammer

Hammer

Ok vielen Dank an klarsoweit und Mulder!! Freude

Freude

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