Potenzreihe als elementare Funktion darstellen

Neue Frage »

09.10.2010, 15:45	NullKommaNichts	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe als elementare Funktion darstellen Langsam bekomme ich die Krise. Ich habe folgende Aufgabe bei der ich auf keinen grünen Zweig komme: Zeigen Sie für \|x\|<1: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^n}{n(n-1)} =-x+(1+x)ln(1+x) \end{eqnarray}$ Meine Idee: Normalerweise versucht man ja die Reihe auf Form der geometrischen Reihe zu bringen, in dem man z.B. n verändert, etwas aus der Summe rauszieht oder in dem man eben den Term der Summe ableitet. Ich hätte jetzt die erste Ableitung gebildet und erhalte dann $\begin{eqnarray} \frac{(-1)^n x^{n-1}}{n-1} \end{eqnarray}$ da sich n rauskürzt. Jetzt bilde ich die zweite Ableitung und erhalte dann $\begin{eqnarray} (-1)^n x^{n-2} \end{eqnarray}$ . So das sieht nun stark nach geometrischer Reihe aus. Ich ziehe also 1/x² aus der Summe raus und habe dann noch $\begin{eqnarray} (-1)^n x^{n} \end{eqnarray}$ da stehen. Ich "wende die geometrische Reihe an" und erhalte $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ * 1/x² So wenn ich jetzt zweimalig die Stammfunktion bilden möchte, kommt nicht wirklich das raus, was ich möchte. Das Problem ist eigentlich nur das 1/x². Denn wenn ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ integriere erhalte ich ln(1+x) und wenn ich das nochmal integriere, erhalte ich genau das Gewünschte allerdings mit ...-1. Was habe ich also falsch gemacht, bzw. was müsste ich denn da nun machen, dass ich auf das richtige Ergebnis komme? Was gibt es da alles für "Tricks"? Und wie kann man eigentlich normale Funktionen als Reihe darstellen? Wie muss man dabei vorgehen? Ich weiß zwar wie die Reihe für e^x aussieht, aber wie kommt man auf die Reihendarstellung? Ich danke für die Hilfe!
09.10.2010, 15:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die Reihenentwicklung des Logarithmus?
09.10.2010, 16:10	NullKommaNichts	Auf diesen Beitrag antworten »
Also was heißt "kennen". Aber ja ich hab sie hier stehen, also die für ln(1+x). bringt mir aber irgendwie auch nicht so viel.
09.10.2010, 16:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze sie doch einfach mal in den rechten Term ein und forme um, bis du beim linken angekommen bist. Im Großen und Ganzen brauchst du nur ein Paar Indexverschiebungen.
09.10.2010, 16:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ könntest du auch die Reihe zweimal differenzieren, dafür einen geschlossenen Ausdruck finden und wieder zweimal integrieren. Integrationskonstante beachten.
09.10.2010, 16:35	NullKommaNichts	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe als elementare Funktion darstellen Nun dann habe ich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^{n-1}}{(n-1)(n-2)} =-x+(1+x)\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n(n-1)} =-x+(1+x)\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n} x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$ Und damit kann ich leider 0 anfangen, vor allem ist das -x da vorne ziemlich doof. Aber mal abgesehen davon jetzt. Kann man das an sich so machen wie ich das gemacht hatte oder was ist dadran falsch?
Anzeige

09.10.2010, 16:50	NullKommaNichts	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold genau das habe ich doch gemacht. Das war ja auch meine Frage dazu. Mir kommt es manchmal ein wenig so vor, als würde die Idee gar nicht durchgelesen werden und einfach nur das rausgepackt, was man selber grad parat hat. Es wäre schön, wenn man auch direkt auf meine dazugestellten Fragen eingehen würde. Ich weiß, ich kann dankbar sein, dass ich überhaupt Hilfe bekomme. Aber das ärgert mich ein bisschen.
09.10.2010, 16:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also zunächst einmal musst du eigentlich gar keine Stammfunktion von irgendwas finden, da du ja das Ergebnis schon hast und es nur beweisen musst. D.h. wenn du beide Seiten 2 mal differenzierst, so kommt dasselbe raus. Also haben beide Seiten die gleiche 2te Ableitung. Nun zeigst du, dass die Ableitung an einer Stelle übereinstimmt (Welche Stelle nimmst du wohl?). Dann folgt sofort, dass die erste Ableitung überall gleich ist. Dann musst du also nur noch die Funktionen selbst an einer Stelle auswerten und feststellen, dass sie dort gleich sind. Dann sind sie auch überall gleich, da sie ja die selbe Ableitung haben. Wenn du allerdings die Reihenentwicklung des Logarithmus schon kennst, so reicht auch einmaliges Differenzieren um festzustellen, dass schon die ersten Ableitungen gleich sind. Denn nach einmaligem Differenzieren wirst du genau auf diese Reihenentwicklung stoßen. Zur Frage, wie man allgemein Funktionen als Reihen darstellt: Informiere dich mal über Taylorreihen.
09.10.2010, 17:13	NullKommaNichts	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu der Aufgabe, da muss ich mal schauen ob ich die Zeit noch finde, das jetzt so fertig zu machen...hab in 5 Tagen mündliche Und ja Taylorreihen kenne ich. Kann es sein, dass man die Funktion dann ableitet und schaut wie sie in der n-ten Ableitung aussieht und nimmt dann die Taylorreihe zu Hilfe? Also ich setze dann quasi die n-te Ableitung von f in $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \end{eqnarray}$ ein? Natürlich müsste ich das noch per Induktion zeigen ob die n-te Ableitung dann auch passt, aber ich glaube nicht, dass ich das noch in der mündlichen machen muss. Oh man, das ist alles so verwirrend. Wie soll en das gehen sich die Theorie in 9 Tagen reinzupressen
09.10.2010, 17:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, du hattest diesen Ansatz schon dargestellt. Das habe ich nicht sorgfältig durchgelesen. Der Fehler liegt schon am Anfang. Die Summe muß nämlich mit dem Index $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ beginnen. Für $\begin{eqnarray} n=0,1 \end{eqnarray}$ wären die Glieder ja gar nicht definiert. Und dann beginnt auch die zweite Ableitung mit dem Index $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . Wenn du den Exponenten $\begin{eqnarray} n-2 \end{eqnarray}$ dann durch $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ersetzt, kannst du die Summe mit dem Index $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ starten. Das ist dann die Reihe für $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ .
09.10.2010, 17:18	NullKommaNichts	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe als elementare Funktion darstellen @Leopold aah na klar. Aber wenn ich jetzt den Index ändere, dann ändern sich doch die n im Nenner mit. Dann bekomme ich doch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{(-1)^{n-2} x^{n-2}}{(n-2)(n-3)} \end{eqnarray}$ Da komme ich doch dann auch auf keinen grünen Zweig. Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch.
09.10.2010, 17:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Erst bei der zweiten Ableitung den Index verschieben. Und nochmals: Die Aufgabe ist falsch gestellt, die Summation darf erst mit $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ beginnen.
10.10.2010, 13:38	NullKommaNichts	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ok, alles klar! Danke für die Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Potenzreihe als elementare Funktion darstellen

Verwandte Themen