Gruppe, Beweis

09.10.2010, 18:08

Wombat91

Gruppe, Beweis

Es sei eine Gruppe (G,*) gegeben und für beliebige Elemente $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n,a_{n+1}\in G \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} a_1*...*a_n*a_{n+1}:=(a_1*...*a_n)*a_{n+1} \end{eqnarray*}$
Nun soll ich zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n-1 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} (a_1*...*a_k)*(a_{k+1}*...*a_n)=(a_1*...*a_{k-1})*(a_k*...*a_n) \end{eqnarray*}$
Ich habe so angefangen:
$\begin{eqnarray*} (a_1*...*a_k)*(a_{k+1}*...*a_n)=(a_1*...*a_{k-1})*a_k*(a_{k+1}*...*a_n)=<br /> (a_1*...*a_{k-1})*a_k*a_{k+1}*...*a_n=(a_1*...*a_{k-1})*(a_k*a_{k+1}*...*a_{n-1})*a_n \end{eqnarray*}$
Diese Schritte kann ich alle mithilfe des Assoziativgesetztes oder der Definition nachvollziehen. Wie komme ich aber von hier weg auf:
$\begin{eqnarray*} =(a_1*...*a_{k-1})*(a_k*a_{k+1}*...*a_{n-1}*a_n) \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für eure Hilfe

09.10.2010, 19:59

Reksilat

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RE: Gruppe, Beweis
Hi Wombat,

Dein letzter Schritt wäre ja wirklich der einfachste, weil Du nur die Definition einsetzen müsstest. Allerdings:

Zitat:

Ich habe so angefangen:
$\begin{eqnarray*} (a_1*...*a_k)*(a_{k+1}*...*a_n)=(a_1*...*a_{k-1})*a_k*(a_{k+1}*...*a_n)=<br /><br /> (a_1*...*a_{k-1})*a_k*a_{k+1}*...*a_n=(a_1*...*a_{k-1})*(a_k*a_{k+1}*...*a_{n-1})*a_n \end{eqnarray*}$

Den zweiten und dritten Umformungsschritt verstehe ich nicht. Was verwendest Du hier? Das ist leider nicht ersichtlich.

Wenn Du die Definition anwendest, kannst Du doch dies hier machen:
$\begin{eqnarray*} (a_1*...*a_k)*(a_{k+1}*...*a_n)=(a_1*...*a_k)*((a_{k+1}*...*a_{n-1})*a_n)=(a_1*...*a_k)*(((a_{k+1}*...*a_{n-2})*a_{n-1})*a_n)=... \end{eqnarray*}$
So kannst Du dann das hier erreichen:
$\begin{eqnarray*} =(a_1*...*a_k)*(((...((a_{k+1}*a_{k+2})*a_{k+3})...*a_{n-2})*a_{n-1})*a_n) \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du vom ersten Faktor nach das $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ abspalten, dann die Klammern neu ordnen und alles wieder zusammenbasteln. Wichtig ist eben, dass Du hier exakt die Definition und die Assoziativität anwendest. So was wie $\begin{eqnarray*} a*b*c \end{eqnarray*}$ ist vorerst nämlich noch völlig nichtssagend.

Gruß,
Reksilat.

09.10.2010, 20:31

Wombat91

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RE: Gruppe, Beweis
Ok, danke vielmals!!

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