Totales Differential -> absoluter Approximationsfehler

10.10.2010, 00:55

mindnexus

Totales Differential -> absoluter Approximationsfehler

$\begin{eqnarray*} \text {Aufgabe: Gegeben sei die Nachfragefunktion: } x = f(y,p) = \ln \left( \frac{y+1}{p} \right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text {mit dem Güterpreis } p > 1 \text{ (in Euro), dem Haushaltseinkommen } y>p-1 \text { (in TSD. Euro), der Nachfrage } x \text{ (in kg), sowie den partiellen Ableitungsfunktionen:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_y(y,p) = \frac {1}{y + 1} \quad , \text{sowie} \quad f'_p(y,p) = - \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(a) Ermitteln Sie das totale Differential } \mathrm dx \text { an der Stelle} \left (y_0,p_0 \right ) = \left ( 2,2 \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text {(b) Berechnen und interpretieren Sie (mit Einheiten) das totale Differential } \mathrm dx \text{ aus 2. für}\quad \Delta y=\Delta p=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text {(c) Geben Sie dazu den absoluten Approximationsfehler } \delta x = \left | \Delta x - \mathrm dx \right | \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} \Delta x = \underline {0.3365} - 0.4055 = -0.06899 \delta x = \left |-0,06899 + 0,08333 \right | = 0,01434 \end{eqnarray*}$

So: Aufgabenteile (a) und (b) sind mir vollkommen klar.... naja bis auf die Interpretation bei (b) [aus der Lösung: Steigen y um 500 Euro und p um 0,5 Euro, sinkt x approximativ um 0,08333 kg.] <- da ist mir nicht klar wo die 500 Euro und 0,5 Euro herkommen...
Jetzt aber zu (c) ich verstehe beim besten Willen nicht, wie man auf den Wert kommt, den ich unterstrichen habe.... die 0,4055 sind mir schon klar... aber die 0,3365 nicht (was übrigens ln (1,4) ist - jedoch hat mich auch diese Erkenntnis nicht weitergebracht....

Bitte bitte erklärt es einem kleinen, dummen BWL Studenten smile

Danke schonmal

EDIT:
$\begin{eqnarray*} \text {Damit ich euch etwas Rechenarbeit erspare, hier mal schnell die Formel für die THE:} g(y,p) = ln(1,5) + \tfrac {1}{3} (y-2) - \tfrac {1}{2}(p-2) \end{eqnarray*}$

10.10.2010, 02:27

Cugu

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Zitat:

da ist mir nicht klar wo die 500 Euro und 0,5 Euro

Die stehen in der Aufgabenstellung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \quad \Delta y=\Delta p=0,5 \end{eqnarray*}$

bzw.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p > 1 \text{ (in Euro) [...] } y>p-1 \text { (in TSD. Euro) } \end{eqnarray*}$

Anscheinend ist
$\begin{eqnarray*} \Delta x := \ln \left( \frac{y_0+\Delta y+1}{p_0+\Delta p}\right ) -\ln \left( \frac{y_0+1}{p_0} \right ) \end{eqnarray*}$ .
Das ist der exakte Wert, um den $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steigt.

10.10.2010, 12:46

mindnexus

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Zitat:

Original von Cugu
Anscheinend ist
$\begin{eqnarray*} \Delta x := \ln \left( \frac{y_0+\Delta y+1}{p_0+\Delta p}\right ) -\ln \left( \frac{y_0+1}{p_0} \right ) \end{eqnarray*}$ .
Das ist der exakte Wert, um den $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steigt.

Edit: Danke, habs jetzt verstanden smile

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