Fourierreihen

10.10.2010, 12:02

eisley

Fourierreihen

hallo zusammen !

Ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=1}^{\infty} sin(kx) \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ Fourierreihe eines $\begin{eqnarray*} f \in C_{2 \pi} \end{eqnarray*}$ ? Bestimmen Sie gegebenenfalls f.

Meine Idee:
Es handelt sich um eine ungerade Funktion, da die Fourierreihe nur Terme der Form $\begin{eqnarray*} b_k \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$ enthält.

Man könnte nun die Bessel-Gleichung anwenden:

$\begin{eqnarray*} ||f||^{2}= \sum \limits_k |c_k|^{2} = \infty \end{eqnarray*}$
Falls $\begin{eqnarray*} = \infty \end{eqnarray*}$ eintritt, ist dies ein Widerspruch und die Reihe ist nicht Fourierreihe eines $\begin{eqnarray*} f \in C_{2 \pi} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun, wie ich dieses $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ berechnen kann.. hat irgendwie nicht funktioniert.

lieben Dank für die Hilfe !

eisley

10.10.2010, 13:01

Felix

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Was hat denn beim Berechnen nicht funktioniert? Du musst gar nichts berechnen, da du die $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ eigentlich direkt aus der Rehe ablesen kannst Augenzwinkern

10.10.2010, 13:01

Muff Potter

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Ich glaube alles Wichtige hast Du schon gesagt. Wenn die Reihe eine Fourierreihe wäre, wie würden dann $\begin{eqnarray*} a_k,b_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ lauten? smile

10.10.2010, 13:05

eisley

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$\begin{eqnarray*} a_k = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac {1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_k = \end{eqnarray*}$ unglücklich

10.10.2010, 13:23

Muff Potter

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Ey, ist doch schon mal gut. Den Zusammenhang zwischen den reelen und komplexen Fourierkoeffizienten ist einfach, guckst Du bei Wiki.

10.10.2010, 13:32

eisley

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dann wäre

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2 \sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ ?

10.10.2010, 13:42

Muff Potter

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Da fehlt mir jetzt irgendwo noch ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , daß sich aber beim Betragsquadrat ( $\begin{eqnarray*} |c_k|^2 \end{eqnarray*}$ ) dann erledigt.

Muß weg. Wink

11.10.2010, 18:17

Abakus

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RE: Fourierreihen

Zitat:

Original von eisley
Ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=1}^{\infty} sin(kx) \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ Fourierreihe eines $\begin{eqnarray*} f \in C_{2 \pi} \end{eqnarray*}$ ? Bestimmen Sie gegebenenfalls f.

Hallo!

Gelöst ist die Aufgabe so noch nicht, das wäre auch ein bisschen zu einfach, nur die Fourierkoeffizienten aus der Reihe abzulesen verwirrt

.

Die erste Frage ist doch, ob die Reihe überhaupt konvergiert; und das ist so einfach nicht zu beantworten: in der Tat tut sie das punktweise. Tipp: Abelsches Konvergenzkriterium?

Die zweite Frage ist, ob die dargestellte Funktion stetig ist (das ist in der Aufgabe ja gefragt!). Mit etwas Augenmaß lässt sich das verneinen, denn die Fourierkoeffizienten gehen "nicht schnell genug" gegen Null.
Um das rechnerisch rauszukriegen, betrachte die Verhältnisse bei 0: wie sehen die rechts- und linksseitigen Ableitungen aus, was ist der Reihenwert? Und was folgt daraus dann?

Die dritte Frage ist die Bestimmung von f. Vom Typ her ist das vielleicht (?) ein gestreckter Cotangens, aber die genaue Gleichung?

Besonders viel sehen wir hier noch nicht (zu wenig Summanden, rechts und links sind Pole), aber von der Struktur her schon einigermaßen:

Grüße Abakus smile

12.10.2010, 18:52

Muff Potter

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Zitat:

Abakus

Hm. Mir scheinen die Fragen zwei und drei in dem Augenblick geklärt, in dem man mittels Parsevalscher Gleichung eine Aussage über $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k} |c_k|^2 \end{eqnarray*}$ bekommt. verwirrt

12.10.2010, 20:11

Abakus

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Zitat:

Original von Muff Potter
Mir scheinen die Fragen zwei und drei in dem Augenblick geklärt, in dem man mittels Parsevalscher Gleichung eine Aussage über $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k} |c_k|^2 \end{eqnarray*}$ bekommt. verwirrt

Ich denke nicht, dass diese Gleichung hier gilt bzw. etwas nützt. Die Grenzfunktion f hat immerhin einen Pol und ist nicht stetig.

Ansonsten hier die linke Seite von Parseval:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \cdot a_0^2 + \sum_{k=1}^{\infty}~ (a_k^2 + b_k^2) = \sum_{k=1}^{\infty}~(\frac{1}{\sqrt k})^2 = \infty \end{eqnarray*}$

Mal angenommen, du hättest eine endliche linke Seite und Parseval würde gelten, wie würdest du dann auf die Darstellung der Grenzfunktion f schließen wollen? (du hast die 2-Norm von f und dann?)

Grüße Abakus smile

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