Integritätsbereich

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eisley Auf diesen Beitrag antworten »
Integritätsbereich
hallo zusammen!

Zuerst einmal die Aufgabenstellung:

Sei R ein Integritätsbereich. Zeige



Gilt diese Gleichung wenn R kein Integritätsbereich ist?
Hinweis:


Ich finde irgendwie nicht so richtig einen brauchbaren Ansatz. U(R) sind ja Einheiten im Integritätsbereich...
..und x ist nicht invertierbar.

Kann man wohl damit etwas machen?

Ich bin dankbar für jede Hilfe!

liebe Grüsse eisley
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal muss man sich vermutlich überlegen, was die Elemente von sind.
In einem Integritätsbereich gilt doch für .
Das sagt doch sofort etwas über den Grad von Produkten von Polynomen aus.
Damit scheiden die meisten Polynome als Einheiten aus...
Welche bleiben überhaupt über?

-------

Wenn mehr Elemente enthält als , dann wird es keine Bijektion geben, also erst recht keinen Isomorphismus.


Modulo ist das ganz nützlich...
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

das würde heissen



...ich habe noch nicht genau gesehen, was zu tun ist.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, es soll doch sein. Also

Welche Polynome bleiben denn dann noch über?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

.. ja nur Polynome vom Grad 0? verwirrt
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Die könnte man zur Unterscheidung z.B. als schreiben mit .

Haben alle Polynome der Form mit ein Inverses?
Wenn nein, welche bzw. welche nicht?
 
 
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

okay.. hab noch einmal die Theorie gelesen und soweit ist mir das alles klar - hätte man ja auch selbst drauf kommen müssen.

trotzdem steh ich irgendwie noch auf dem Schlauch. Rein intuitiv würde ich sagen, nicht alle Polynome der besagten Form haben ein Inverses.. nur nützt mir Intuition hier nichts .. unglücklich
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Die in ist mit meiner Schreibweise .

Die Frage ist also:
Wann ist denn ?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

wenn

btw: vielen Dank für deine Hilfe und Geduld !
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht! Z.B. ist ein Integritätsbereich und es gilt .
Oder in ist .

-----

Es gibt einen Namen für die Elemente die der Gleichung genügen. Der ist hier auch schon gefallen...
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer die Einheiten !!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich würde behaupten, dass die Einheiten in genau die Monome der Form sind, wobei ist.

Da sollte es doch in kanonischer Weise einen Isomorphismus geben...
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

.. ich steh da komplett an. werde es wohl mal ruhen lassen und dann morgen oder übermorgen noch einmal versuchen!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, gut.

Um das an den beiden Beispielen zu verdeutlichen.



Für :

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