Flächeninhalt als Grenzwert/Herleitungsschwierigkeiten

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Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt als Grenzwert/Herleitungsschwierigkeiten
Guten Abend euch allen,
ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
"Für den Inhalt A der gefärbten Fläche in Fig.2 gilt A = . Leiten Sie die entsprechende Formeln für die Inhalte in Fig. 2 und 3 her."

Fig. 1 ist eine Gerade mit Gleichung y=x. Ich habe nun versucht, erstmal diese Fläche herzuleiten um zu schauen, ob ich es auch richtig mache, aber irgendetwas mache ich falsch:


Das Umformen ist noch kein Problem:

Das entspricht aber nicht A=, aber was mache ich wo falsch ?? unglücklich
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, die Gerade in deiner Rechnung ist , da sie die -Achse an der Stelle schneidet.
Der Unterschied ist logischerweise ein Rechteck mit Flächeninhalt .
Wenn du den Flächeninhalt des Rechtecks zu deinem Ergebnis hinzuaddierst, dann passt es wieder.
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »


Also a ist in der Zeichnung nicht Nullstelle der Gerade und die Gleichung der Geraden ist gegeben, y=x.
Aber ich habe doch den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse durch den Grenzwert berechnet, wieso muss ich da noch den eines Rechteck miteinbeziehen?
Ist der Flächeninhalt nicht a(a+b)? Wenn man ihn von meinem Ergebnis subtrahiert, kommt A = raus, ich danke dir schonmal dafür smile .
Aber ich verstehe nicht, woher das Rechteck kommt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo sind da a bzw. b in der Zeichnung?
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind halt beliebig rechts vom Ursprung auf der X-Achse. Ich wusste nicht wie ich die Skizze noch bearbeiten konnte bzw. a und b markieren. In der originalen Zeichnung sind keine Einheiten an der x- und y-Achse, a und b sind variable Stellen auf der x-Achse, gilt halt nur b>a.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Und mußt du das mit dem Obersummen-Verfahren machen oder kannst du nicht einfach die Flächenformeln für Dreiecke verwenden?
 
 
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Also,ich nehme an gesucht ist die gesamte Fläche, denn dann erhält man .
[attach]16243[/attach]
Du berechnest die blaue Fläche.
Das Rechteck ist die grüne Fläche.
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Aber durch das Obersummenverfahren habe ich doch nicht nur die blaue Fläche berechnet, sondern doch den gesamten Flächeninhalt zwischen x-Achse und f(x)=x im Intervall [a;b], oder ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und vielleicht verrätst du mal, welche Fläche nun berechnet werden soll.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht richtig...
Wenn du die gesamte Fläche berechnen wolltest, hast du das Verfahren falsch angewandt.
Du nimmst als Funktionswerte , aber das ist nicht richtig.
Richtig wäre, wie du der Zeichnung entnehmen kannst, .
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a;b], ich habe das Obersummenverfahren angewendet, aber dabei das Rechteck überhaupt nicht bewusst berücksichtigt , wieso muss ich das Rechteck noch miteinbeziehen, wenn die Fläche schon berechnet ist ?
Die Zeichnung von Cugu ist schon richtig, man soll halt die blau und die grün gefärbte Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen, aber durch das Obersummenverfahren berechne ich doch diese gesamte Fläche, oder nicht ? Deshalb verstehe ich nicht, wieso ich dann nochmal die grün gefärbte Fläche subtrahieren muss, um das in der Aufgabenstellung genannte Ergebnis für den Flächeninhalt A= zu erhalten ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt als Grenzwert/Herleitungsschwierigkeiten
OK. Jetzt habe ich es endlich verstanden. Du hast hier die falsche Formel gewählt:
Zitat:
Original von Cossinus



Überlege dir, wie du das Intervall [a; b] unterteilst. An welchen Stellen mußt du den Funktionswert nehmen? Siehe dazu auch den Hinweis von cugu.
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich verstehe es jetzt. In den vorigen Aufgaben war a=0 und da hat mein Vorgehen funktioniert. Jetzt ist a ungleich 0(also ist die Fläche auf der x-Achse um a entfernt vom Nullpunkt), also muss ich jetzt a in die Funktionswerte miteinbeziehen und a kann ich bei den Funktionswerten weglassen, wenn a=0, richtig ?

Man beginnt nun nicht mit x1=, sondern, da x1(also der Beginn der Fläche) um a verschoben ist, also ist x1=, eingesetzt in die Funktionswerte würde sich dann Cugu's Formel ergeben. smile
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Also :


=

Ist der Ansatz richtig ?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »




=

=

Dieser hier ? Ich komme irgendwie nicht weiter. Wenn ich jetzt ausmultipliziere, ist einer der Summanden bzw. Subtrahenten a*n, wenn ich dann den Limes davon berechnen will, ist dieser ja unendlich( da n ja gegen unendlich streben soll), und mit diesem zu rechnen macht das oben angegebene Endergebnis ja unmöglich.

=
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt auch nicht. Jetzt stimmen die Funktionswerte. Dafür ist die Intervalllänge falsch.
Klar, dass das divergiert, wenn du zur Intervalllänge dazuaddierst.
Bei der Intervalllänge fällt das wegen weg.
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, die Intervalllänge ändert sich nicht. Die entsprechende Gleichung :





=

Wenn ich die beiden ersten Klammern ausmultipliziere, entsteht folgender Term:

=

=
Wenn ich diese Klammern ausmultipliziere, steht n im Zähler und damit kann als Grenzwert nicht A= heraus kommen. unglücklich
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite Gleichheitszeichen ist schon falsch...
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt hmm, ich klammer doch bzw. und aus, das heißt in dem Term verändert sich mit letzterer Variante so :



Wenn das richtig ist, muss ich dann doch in der Summenformel nicht n, sondern (n+1) einsetzen, oder ? In der Obersummenformel steht ja am Ende nicht n, sondern n+1.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cossinus
verwirrt hmm, ich klammer doch bzw. und aus

Bevor du etwas ausklammerst, solltest du die Summanden in



etwas umsortieren, damit das überhaupt möglich ist. Wie oft taucht beispielsweise der Summand a auf?
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

a taucht n-mal auf, da doch der Term ebenfalls n-mal auftaucht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cossinus
a taucht n-mal auf

Das ist richtig, allerdings kommt der Term nur ein einziges mal vor.

Wie kann man die Summe a + a + ... + a auch verkürzt schreiben?
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summe a+a+a+...+a lässt sich verkürtzt als n*a schreiben, diesen Term kann ich dann also ausklammern.
Also lässt sich die Summe

verkürtzt doch als


schreiben.

Aber wie bilde ich, wenn ich ausklammere, dann die Summenformel ? Ohne das a*n wäre sie ja .
Das Produkt aus a und n verwirrt mich gerade.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mal langsam. Du hast jetzt:



<==>



Und jetzt kannst du aus der eckigen Klammer das (b-a)/n ausklammern.
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Woher kommt denn das zweite , das zu dem Produkt hinzuaddiert wird ?
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

In der eckigen Klammer ist ja nochmal vorhanden und du hast in deinem Term ja die eckige Klammer verschoben, das verstehe ich, aber steht jetzt noch an erster Stelle der Summe der eckligen Klammer, das verstehe ich auch, aber wieso steht der Term nochmal vor der eckigen Klammer als Teil der Summe ?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Seit wann darf man Klammern verschieben?

Nein, das ist Distributivität:

Ausklammern heißt das im Volksmund!
Cossinus Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, so hat es geklappt und ich habe es verstanden. Danke nochmal ! smile
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