Beweis: Häufungspunkt einer Folge |
| 11.10.2010, 08:30 | Laktritzstange | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis: Häufungspunkt einer Folge Hallo, ich habe folgende Aufgabe und habe keine Ahnung wie ich sie beweisen soll. Es sei a_{n} eine Folge mit der Eigenschaft, dass die Teilfolge a_{2n} und a_{2n+1} konvergent sind. Beweise, dass dann {\lim_{n \to \infty } a_{2n};\lim_{n \to \infty } a_{2n+1}} die Menge der Häufungspunkte der Folge a_{n} ist. Meine Ideen: Ich habe mir die Folge (-1)^n+1/n mal angeschaut. Ich weiß ja, dass a_{2n} gegen 1 konvergiert und a_{2n+1} gegen -1. Also sind die beiden Häufungspunkte der Folge. Ich hab aber keine Ahnung wie ich das allgemein beweisen soll. Vielen Dank für eure Hilfe. |
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| 11.10.2010, 09:08 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis: Häufungspunkt einer Folge
Mit Hilfe der Definitionen für die Konvergenz gegen einen Grenzwert und der Definition eines Häufungspunktes. Schau dir zuerst mal die Definitionen an. Du musst übrigens zwei Dinge beweisen: a) Die beiden Grenzwerte der Teilfolgen sind Häufungspunkte der Folge. b) Die Folge hat keine weiteren Häufngspunkte. |
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| 11.10.2010, 10:00 | lakritzstange | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke schon mal für deine Hilfe. Ich habe mir die Definitionen angeschaut. Ich habe ja aber keine konkrete Folge gegeben. Deshalb weiß ich nicht wie ich den Grenzwert bestimmen soll. Kannst du mir einen Ansatz geben, wie ich den Beweis anfangen muss? Danke. |
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| 11.10.2010, 10:33 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst den Grenzwert nicht berechnen. Es genügt zu wissen, dass die beiden Teilfolgen Grenzwerte haben. Wenn eine Folge konvergiert, dann liegen doch in jeder Umgebung des Genzwertes fast alle (= alle bis auf endlich viele) Folgenglieder. Was ist nun notwendig, damit ein Punkt Häufungspunkt einer Folge ist. |
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| 11.10.2010, 13:36 | lakritzstange | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Häufungspunkt sollte dann supremum bzw infimum der Folge sein oder, also der oberste bzw unterste Punkt einer Folge oder? |
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| 11.10.2010, 13:56 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein! Du musst dir unbedingt die Definition von Häufungspunkt ansehen. Du kannst keine Beweise über Dinge führen, deren Definition du nicht kennst. |
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| 11.10.2010, 14:01 | lakritzstange | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also unsere Definition im Skript lautet wie folgt: Die Grenzwerte von konvergenten Teilfolgen heißen Häufungspunkte. Bei reellen Teilfolgen sind zusätzlich +\infty bzw. -\infty Häufungspunkte, wenn es Teilfolgen mit diesen Grenzwerten gibt. Also weiß ich ja dass der Grenzwert der Teilfolge auch Häufungspunkt ist oder? Sorry, aber im Moment hab ich noch nicht wirlich den Durchblick und kann mit der Aufgabe nicht viel anfangen. |
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| 11.10.2010, 14:15 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ihr das so definiert habt, dann ist in die eine Richtung tatsächlich gar nichts zu beweisen. Beweisen musst du dann nur noch, dass es keine weiteren Häufungspunkte gibt. Das heißt, du musst zeigen, dass die gegebene Folge keine konvergente Teilfolge haben kann, deren Grenzwert von den beiden gegebenen Grenzwerten verschieden ist. Wie habt ihr denn Konvergenz und Grenzwert definiert? |
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| 11.10.2010, 14:38 | lakritzstange | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben folgende Definition für Grenzwert und Konvergenz: eine Folge a_{n} heißt konvergent wenn es eine Zahl a \in K (K sei entweder der Körper reellen oder der komplexen Zahlen) und für jedes epsilon >0 ein N /in \mathbb N , so dass /a_{n} - a/<epsilon für alle natürlichen Zahlen n>= N gilt. Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge a_{n}. und dann eben die mathematische schreibweise für konvergenz: für alle epsilon >0 gibt es mindestens ein N element natürlicher Zahlen für alle n>= N für die gilt /a_{n} - a/<epsilon. Danke schonmal für deine Hilfe. |
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| 11.10.2010, 15:25 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut. Jetzt nimm mal an, die Folge hätten einen weiteren Häufungspunkt. Dann müsste die Folge laut Definition von Häufungspunkt eine Teilfolge habe, die gegen diesen weiteren Häufungspunkt konvergiert. Und mittels der Definition von Konvergenz kannst du zeigen, dass das nicht geht. Der Kern des Beweises ist, dass die beiden obigen Teilfolgen zusammen die gesamt Folge bilden. |
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| 11.10.2010, 16:00 | lakritzstange | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Vielen Dank für deine Hilfe. Das ist mir sogar logisch:-) Hoffe ich schreibe den Beweis jetzt noch richtig auf. Gruß Lakritzstange |
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