Maximum Likelihood Schätzer bestimmen

11.10.2010, 14:35	Stochastik_Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum Likelihood Schätzer bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen, bin neu hier und habe gleich mal eine Frage. Bei folgender Aufgabe bin ich mir über deren Lösung nicht ganz sicher: Gegeben ist folgende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz Dichte): $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\Theta} \cdot e^{-\frac{\|x\|}{\Theta}} \end{eqnarray}$ Gefragt ist nun nach einem Maximum Likelihood Schätzer für $\begin{eqnarray} \Theta \end{eqnarray}$ Nach (relativ kurzer) Rechnung komme ich auf folgende Lösung: $\begin{eqnarray} \Theta^3=\frac{-1}{2n}\sum_{i=1}^n \|x_i\| \end{eqnarray}$ Ist das korrekt? Wenn man nämlich die Momentenmethode anwendet ergibt sich folgendes: $\begin{eqnarray} \Theta=\sqrt{ \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n x_i^2 } \end{eqnarray}$ Über Hinweiße und Kritik würde ich mich riesig freuen Vielen Dank schon mal für die Mühen! Meine Ideen: Rechenweg zur Maximum Likelihood-Methode: $\begin{eqnarray} L(x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{2\Theta}e^{-\frac{\|x\|}{\Theta}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2\Theta}^n e^{-\frac{1}{\Theta}\sum_{i=1}^n \|x_i\| } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l=log(L) = n \cdot \frac{1}{2\Theta} - \frac{1}{\Theta}\sum_{i=1}^n \|x_i\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dl}{d\Theta} = 2\Theta n + \frac{1}{\Theta^2}\sum_{i=1}^n \|x_i\| \stackrel{!}{=} 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2\Theta n = - \frac{1}{\Theta^2}\sum_{i=1}^n \|x_i\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \Theta^3=\frac{-1}{2n}\sum_{i=1}^n \|x_i\| \end{eqnarray}$
11.10.2010, 15:14	Stochastik_Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer bestimmen Hab nochmal einen kleinen Fehler in meiner Rechnung gefunden; dies ändert aber prinzipiell nicht meine Frage: $\begin{eqnarray} \frac{dl}{d\Theta} = richtigerweise -\frac{n}{\Theta} + \frac{1}{\Theta^2}\sum_{i=1}^n \|x_i\| \stackrel{!}{=} 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow ergibt dann \Theta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \|x_i\| \end{eqnarray}$
11.10.2010, 16:24	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer bestimmen Die Rechnung für den ML-Schätzer scheint jetzt zu stimmen. Die Momentenmethode und ML müssen nicht zu derselben Schätzfunktion führen.

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