Beweisen - Prinzip und Ansatz

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jobsen Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen - Prinzip und Ansatz
Hallo,

ich fange jetzt im ersten Semester mit dem Mathe-Studium an und mache grad einen Vorkurs. Im Rahmen dieses Vorkurses haben wir einige Aufgaben zur Übung bekommen. Gerade geht es um das Thema Beweise. Ich wusste nicht genau, in welches Unterforum das gehört, deswegen habe ich es erstmal hier rein geschrieben.

Ich hätte ein paar grundsätzliche Fragen.

Zunächst würde ich gerne von euch wissen, ob ich bei folgender Aufgabe korrekt vorgegangen bin:

Aufgabenstellung: Zeigt, dass für alle reellen Zahlen x,y,z gilt:



Mein Ansatz ist nun zu quadrieren, wie beim Beweis der Dreiecksungleichung, woraus ja folgt:




Das abzüglich der sich aufhebenden 2xy wäre also



Womit der Beweis doch eigentlich schon erbracht wäre, oder sehe ich das falsch?

Was mich auch noch verwirrt, ist, dass in der Aufgabenstellung von z die Rede ist? Ich kann mir aber beim besten Willen nicht vorstellen, wo das z herkommen soll? Hab ich einen groben Denkfehler oder wie?
-----------

Eine andere Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme ist folgende:

Aufgabenstellung: Zeigt, dass für alle reellen Zahlen a,b \qeq 0 gilt:




Ich weiß absolut nicht, wie ich da auf einen Lösungsansatz komme. Ich hatte die Idee eine Termumformung zu machen und auf der rechten Seite durch Quadrieren die Wurzel wegzubekommen, so dass auf der rechten Seite nur noch steht, aber ob mir das was bringt? Stehe wirklich auf dem Schlauch!


MfG, Jobsen
Gast09 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Erste kannst du so nicht zeigen. Schau dir dazu mal folgendes an und überleg dir dann warum deine Methode nicht funktioniert:

Beh: 1 = -1
Bew: quadrieren der beiden Seiten ergibt 1 = 1 => wahre Aussage => Behauptung
jobsen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast09
Das Erste kannst du so nicht zeigen. Schau dir dazu mal folgendes an und überleg dir dann warum deine Methode nicht funktioniert:

Beh: 1 = -1
Bew: quadrieren der beiden Seiten ergibt 1 = 1 => wahre Aussage => Behauptung


Hallo,

wenn ich dich richtig verstehe willst du mir verdeutlichen, dass ich mit meinem Ansatz die unwahre Behauptung 1 = -1 beweisen könnte?

Ich habe mich am Beweis der Dreiecksungleichung für reelle Zahlen orientiert. Bei Wikipedia(ich weiß, nicht verifiziert usw.) steht, dass ich durch die Betragsstriche, die zur Folge haben, dass auf beiden Seiten positive Ergebnisse herauskommen quadrieren darf.

Zitat:
Weil beide Seiten der Ungleichung nicht negativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung

Ich glaube, was mir bei beiden Seiten noch Probleme bereitet sind die Betragsstriche und beim zweiten Fall auch die Wurzeln.

Ich stehe echt auf dem Schlauch unglücklich
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

zuerst einmal sind beide seiten deiner ungleichung positiv, deshalb ist die idee, das genau so zu machen, wie die dreiecksungleichung nicht so verkehrt.


Zitat:
Original von Gast09
Das Erste kannst du so nicht zeigen. Schau dir dazu mal folgendes an und überleg dir dann warum deine Methode nicht funktioniert:

Beh: 1 = -1
Bew: quadrieren der beiden Seiten ergibt 1 = 1 => wahre Aussage => Behauptung

schau dir die ungleichung mal an, beide seiten sind positiv, da die summe von beträgen immer positiv ist.
so, wie ich das sehe kann man das ruhig quadrieren.....

allerding ist bei dir beim quadrieren was falsch gelaufen:


.

und also

tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde vorschlagen folgende schärfere Aussage zu beweisen:

. Es gilt sogar Gleichheit, denn echt größer ist wegen der Dreiecksungleichung ausgeschlossen. Aber zum Beweisen würde ich diese Form bevorzugen und die ist ja auch schon schärfer als das in der Aufgabe zu beweisende.

Der Beweis funktioniert ganz einfach: Nehme an und folgere . Hierbei hilft natürlich auch wieder quadrieren. Mit dem deutlichen Vorteil nicht so Brocken wie bei lgrizu zu bekommen Augenzwinkern

Zur 2. Aufgabe: Zeige zunächst einmal folgende Ungleichung (beachte, dass a,b nicht negativ sind, dann könnte dir sogar die schärfere Aussagen aus 1 helfen) und multipliziere dann mit
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo:
ich dachte einfach, jobsen könne seine idee ruhig weiter verfolgen, wenn man die letzte ungleichung noch geschickt umformt.... Augenzwinkern
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Der (wohl bessere) Beweisweg ist hier der mit Fallunterscheidung (statt zu quadrieren), denke ich: also 4 Fälle, x, y >= 0 usw.

Grüße Abakus smile
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