Exponentialgleichung auflösen

11.10.2010, 15:57

Lenny22

Exponentialgleichung auflösen

Meine Frage:
Hallo ich bin gerade am Lösen folgender Gleichung

2^x-1 = 8^x-2 - 4^x-2

Meine Ideen:
Ich bin zunächst folgendermaßen vorgegangen.
2^x-1 = 2^3(x-2) - 2^2(x-2)

jetzt habe ich den logarithmus verwendet

ln 2^x-1 = ln 2^3(x-2) - ln 2^2(x-2)
(x-1)ln2 = 3(x-2)ln2 -2(x-2)ln2

kann ich jetzt die gesamte gleichung durch ln2 teilen?
dann stünde ja nur noch folgendes da
(x-1)=3(x-2)-2(x-2)

kann allerdings nicht stimmen da bei der auflöseung dieser gleichung dies herauskommt. (x-1)=(x-2)

naja bin gerade am überlegen ob ich überhaupt den richtigen ansatz gemacht habe und ob der logarithmus überhaupt notwendig war.

Bitte um Ratschläge

11.10.2010, 18:11

Johnsen

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Hi!

ich gehe davon aus, dass deine Gleichung wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 8^{x-2} - 4^{x-2} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du die rechte Seite sofort vereinfachen, wenn du es nicht gleich siehst, dann klammer rechts $\begin{eqnarray*} 4^{x-2} \end{eqnarray*}$ aus. Und nun eine "elegante" Lösung:

wandel auf der rechten seite die Basis (diese ist 4, soviel sei verraten) in eine Potenz um, und schreibe den Exponenten anders. Dann hast du auf beiden seiten stehen 2^(irgendwas) = 2^(irgendwas). Das ist nur dann erfüllt, wenn die Exponenten gleich sind. Also setzt du diese gleich, löst nach x auf und fertig!

Gruß

Johnsen

11.10.2010, 20:14

Lenny22

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Danke für die schnelle Antwort.

Ja dies ist die Ausgangsgleichung 2^x-1 = 8^x-2 - 4^x-2

Also dann:

2^x-1 = 4^x-2 (2-1) ist das so richtig?

2^x-1 = 2^2(x-2) /jetzt durch den rechten term dividieren

2^x-1 / 2^2(x-2) =1

2^(x-1)-(2x-4)=1

2^-x+3=1 (2 "hoch" -x+3 =1 )
jetzt muss ich irgendwie auf den exponenten x auflösen, falls es bisher kein vollkommener quatsch war :-)

ich nehme mal an mit dem logarithmus

lg 2^-x+3 = lg 1
(-x+3) * lg2 = 0

(-x+3) * 0,693=0
-x *0,693 + 3 *0,693 =0
-0,693x =2,079
-x = 3
x=-3 ist das korrekt

oder nachdem ich oben bereits links und rechts die gleichen basen habe,also

2^x-1 = 2^2(x-2)
x-1=2x-4
2x-x=-4 +1
x=-3

der zweite weg ist entscheident leichter :-)

11.10.2010, 21:03

corvus

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Zitat:

Original von Lenny22

Ausgangsgleichung 2^x-1 = 8^x-2 - 4^x-2

Also dann:

2^x-1 = 4^x-2 (2-1) ist das so richtig? geschockt

schon mal überlegt, was das gibt: 2-1= ?
usw..
oder:
mach doch selbst die Probe und multipliziere deine Klammer wieder aus
findest du im Ernst, dass zB 2 * 4^(x-2) = 8^(x-2) sei?

informiere dich über die Regeln des Potenzrechnens und starte dann hier
einen neuen Versuch, deine Aufgabe zu lösen.
ok?

11.10.2010, 21:04

tigerbine

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Zitat:

Original von Johnsen
Hi!

ich gehe davon aus, dass deine Gleichung wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 8^{x-2} - 4^{x-2} \end{eqnarray*}$

An alle LaTeX-Verweigerer: Bitte wenigstens Klammern setzen!

11.10.2010, 21:48

corvus

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Zitat:

Original von Johnsen
Hi!

ich gehe davon aus, dass deine Gleichung wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 8^{x-2} - 4^{x-2} \end{eqnarray*}$

genau so.. und da macht die Biene dir keinen Stich

Nun kannst du die rechte Seite sofort vereinfachen,
wenn du es nicht gleich siehst, unglücklich

dann klammer rechts $\begin{eqnarray*} 4^{x-2} \end{eqnarray*}$ aus.

oh, bitte: schreibe da mal noch sicherheitshalber auf, was dann denn in der Klammer herumsteht

Und nun eine "elegante" Lösung: Freude

wandel auf der rechten seite die Basis (diese ist 4, soviel sei verraten) in eine Potenz um,
und schreibe den Exponenten anders. verwirrt

Dann hast du auf beiden seiten stehen 2^(irgendwas) = 2^(irgendwas). <- mal Klammer...?

.. löst nach x auf und fertig! Prost

lustig: auf welch gewagten Wegen man über das richtige Ergebnis stolpern kann smile

11.10.2010, 23:18

mYthos

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Die Lösung x = -3 ist NICHT richtig.
Selten habe ich bei einer Aufgabenlösung einen derartigen Unfug gesehen.
@Johnsen, du hast hier ganz arg danebengehauen und auch du @Lenny bist der falschen Fährte bereitwillig gefolgt.

Bringe alle Terme auf die Basis 2, isoliere überall die Potenz $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ und setze dann $\begin{eqnarray*} 2^x = u \end{eqnarray*}$ .
Daraus ergibt sich eine Gleichung 3. Grades in u, von deren 3 Lösungen jedoch nur eine für ein reelles x in Frage kommt.

Alternativ (und einfacher) kann die ganze Gleichung von vornherein durch $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ dividiert werden, wenn man weiss, dass eine Zweier-Potenz niemals Null werden kann. Somit kommt es im Anschluss nur zu einer quadratischen Gleichung in u.

mY+

@corvus
Zu deinem humorvollen letzten Beitrag hast du leider vergessen, ernsthaft etwas zu dem richtigen Verständnis beizutragen.

12.10.2010, 00:12

corvus

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Zitat:

Original von mYthos

@corvus
Zu deinem humorvollen letzten Beitrag hast du leider vergessen, unglücklich

ernsthaft etwas zu dem richtigen Verständnis beizutragen.

@ mYthos
Anstelle deiner konstruktiven Aufmunterung:
Zitat:

Selten habe ich bei einer Aufgabenlösung einen derartigen Unfug gesehen.
@Johnsen, du hast hier ganz arg danebengehauen
und auch du @Lenny bist der falschen Fährte bereitwillig gefolgt.

habe ich versucht, den Beitragsschreibern zu helfen, den von ihnen gemachten Fehler
selbst zu erkennen .. in der Hoffnung, dass sie danach alleine auf den richtigen Weg finden.

Toll, wie du den Beteiligten ersparst, selbst fündig zu werden; bleibt zu hoffen, dass
sie dann die quadratische Gleichung zumindest selbst lösen dürfen.

Wollen wir noch darüber spekulieren, dass Johnsen dann findet, sein "eleganter" Weg
hätte es uns 3 ja viel schneller auch gebracht?
.......................................................................................... smile

12.10.2010, 01:00

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von corvus
...
habe ich versucht, den Beitragsschreibern zu helfen, den von ihnen gemachten Fehler
selbst zu erkennen .. in der Hoffnung, dass sie danach alleine auf den richtigen Weg finden.
...

Mit dieser "Hilfe", die nur in sarkastischen Bemerkungen gipfelt, wird ihnen dies kaum gelingen.
___________________

Und wenn du schon dauernd zitieren musst, dann wenigstens im Original. Es ist ungehörig, einen Smiley oder andere Bemerkungen nachträglich in ein Originalzitat einzufügen.

Und es obliegt dir ausserdem nicht, mir vorzuschreiben, wie weit meine Tipps zur Lösung der Aufgabe zu gehen haben, nachdem der Thread schon hinreichend verdorben war.

12.10.2010, 01:07

corvus

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Zitat:

Original von mYthos
... nachdem der Thread schon hinreichend verdorben war.

... bevor du dich eingemischt hast? verwirrt

12.10.2010, 01:11

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich!
Gerade DESHALB war ja einzugreifen!

mY+

12.10.2010, 01:35

corvus

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Zitat:

Original von mYthos
Selbstverständlich!
Gerade DESHALB war ja einzugreifen!

mY+

köstlich, deine "selbst verständlichen" Eingriffe..

und ein Genuss für die Fragesteller,deine aufstellende Bemerkung zu inhalieren:
Zitat - ganz ohne Smiley:
Selten habe ich bei einer Aufgabenlösung einen derartigen Unfug gesehen.
.

12.10.2010, 02:26

Cugu

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Nicht streiten, ich möchte wissen wie man das rechnet! traurig

Wie wäre es denn wenn wir die Gleichung gemäß der ersten Idee von Lenny22 als
$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 2^{3(x-2)} - 2^{2(x-2)} \end{eqnarray*}$
schreiben, dann aber auf den Logarithmus verzichten.
Man könnte passend ausklammern, substituieren und die quadratische Gleichung lösen...

------

edit:

Zitat:

Bringe alle Terme auf die Basis 2, isoliere überall die Potenz $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ und setze dann $\begin{eqnarray*} 2^x = u \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich eine Gleichung 3. Grades in u, von deren 3 Lösungen jedoch nur eine für ein reelles x in Frage kommt.

Die Idee hatten wohl schon jemand vor mir ... das ging nur zwischendrin unter ...
Naja, ich hätte $\begin{eqnarray*} 2^{x-2} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und $\begin{eqnarray*} y:=2^{x-2} \end{eqnarray*}$ gesetzt.

12.10.2010, 10:08

mYthos

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... was gehüpft wie gesprungen ist Big Laugh

mY+

Zitat:

Original von corvus
...
und ein Genuss für die Fragesteller,deine aufstellende Bemerkung zu inhalieren:
Zitat - ganz ohne Smiley:
Selten habe ich bei einer Aufgabenlösung einen derartigen Unfug gesehen.
.

Es IST ein Unfug, vor allem deswegen, weil dies eine "Hilfe" darstellen sollte.

12.10.2010, 10:10

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cugu
.. ich möchte wissen wie man das rechnet! traurig

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 2^{3(x-2)} - 2^{2(x-2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} 2^{x} = \frac{1}{64} (2^{x})^{3} - \frac{1}{16} (2^{x})^{2} \end{eqnarray*}$

und jetzt musst du es nur noch schaffen, nach einer kleinen Umtaufung
eine quadratische Gleichung, die ungefähr so aussehen könnte, zu lösen:

$\begin{eqnarray*} u^2 - 4u - 32 = 0 \end{eqnarray*}$

............................................................ ok?

12.10.2010, 10:15

mYthos

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Da hast du aber noch vorher durch $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ zu dividieren, ansonsten kommt es zu einer kubischen Gleichung.
___________

Eigentlich wurde dies alles schon zuvor gesagt.

mY+

12.10.2010, 15:03

Lenny22

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Hätte wirklich nicht gewollt,dass es nach der Aufgabenstellung zu einem Disput zwischen Moderatoren kommt. Aber schließlich sollte das Forum hier in erster Linie seinen Zweck erfüllen und den "Hilfesuchenden" auch wertvolle Tipps und Vorschläge geben. Spott , Sarkasmus etc. sind da meiner Meinung nach wirklich fehl am Platz. Die einen könne rechnen und die anderen sind dafür besser in Fremdsprachen, Sport ,Literatur...

Hätte es schon fast aufgegeben und bis zur gemeinsamen Lösung im Unterricht nächste Woche gewartet aber aufgrund der Beiträge und der Vorarbeit habe ich jetzt eine Lösung.

1/2(2^x)=1/64(2^x)^3-1/16(2^x)^2

jetzt für 2^x= y

y "ungleich"; (-) und (0)

1/64(y^3)-1/16(y^2)-1/2(y)=0
.
.
.
kann es sein,dass für y -4 , 0 und 8 rauskommt wobei -4 und 0 wegfallen so dass y 8 sein muss

und da y=2^x
8=2^x
x=3

12.10.2010, 15:15

tigerbine

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Bitte verwende hier latex. Das ist bei solchen Aufgaben unbedingt notwendig. Mehr steht in meiner Signatur.

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 8^{x-2} - 4^{x-2} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]2^{x-1} = 8^{x-2} - 4^{x-2}[/latex]

Nun sagten die Herren schon

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 2^{3(x-2)} - 2^{2(x-2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} 2^{x} = \frac{1}{64} (2^{x})^{3} - \frac{1}{16} (2^{x})^{2} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{1}{64} (2^{x})^{3} - \frac{1}{16} (2^{x})^{2} -\frac{1}{2} 2^{x} \end{eqnarray*}$

Ob man nun dividiert oder ausklammert ist - wegen $\begin{eqnarray*} 2^x \neq 0 \end{eqnarray*}$ hier nun Geschmackssache.

$\begin{eqnarray*} 0= (\frac{1}{64} (2^{x})^{2} - \frac{1}{16} (2^{x}) -\frac{1}{2}) 2^{x} \end{eqnarray*}$

Ebenso ob man die Brüche beseitigt.

$\begin{eqnarray*} 0=64 ((2^{x})^{2} -4(2^{x}) -32) 2^{x} \end{eqnarray*}$

Wie man die Substitution nun nennt, ist auch egal. Es reduziert sich im Kern auf die Frage:

$\begin{eqnarray*} u^2 - 4u - 32 = 0 \end{eqnarray*}$

Welche Lösungen machen wegen $\begin{eqnarray*} 2^x=:u \end{eqnarray*}$ nur Sinn? Was dann die Lösung x=3 leifert.

Probe:

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