Kontrollzufallsgrößen - Var bestimmen

11.10.2010, 16:31	Silv3rSurf3r	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrollzufallsgrößen - Var bestimmen Hallo Leute, ich sitze gerade vor einem Skript über Kontrollzufallsgrößen und da erschließt sich mir eine Sache nicht so ganz genau: Text: Man möchte den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ simulieren. Annahme: es gibt eine weitere Zufallsgröße Y, deren Erwartungswert $\begin{eqnarray} \nu:=E(Y) \end{eqnarray}$ wir kennen. Dann ist $\begin{eqnarray} Z:=X+r(\nu-Y) \end{eqnarray}$ ein erwartungstreuer Schätzer mit einem Skalar $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ . Soweit so gut. Jetzt wird die Varianz von Z näher berechnet => $\begin{eqnarray} Var(Z)=Var(X+r(\nu-Y))=Var(X)+r^2 Var(Y)-2r Cov(X,Y) \end{eqnarray}$ Frage: Dass sich ein Skalar quadratisch aus der Varianz rauszieht, ist mir klar. Nur wie kommt man auf das 2r*Cov(X,Y) ?? LG
11.10.2010, 16:52	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrollzufallsgrößen - Var bestimmen Setze $\begin{eqnarray} Y_1=r(Y-\mu) \end{eqnarray}$ . Dann ist zu berechnen $\begin{eqnarray} Var(X+Y_1) \end{eqnarray}$ . Nun gilt allgemein: $\begin{eqnarray} Var(X+Y_1)=Var(X)+Var(Y_1)+2 Cov(X,Y_1) \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray} Cov(X, Y_1) \end{eqnarray}$ mittels der Definition der Kovarianz ausrechnen.
11.10.2010, 17:47	Silv3rSurf3r	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, hat geklappt
12.10.2010, 15:37	Silv3rSurf3r	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hätte da noch eine weitere Frage: Es wird im Skript gesagt, dass für $\begin{eqnarray} r^{}=Korr(X,Y)\frac{\sigma_{X}}{\sigma_{Y}} \end{eqnarray}$ die Varianz von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ minimiert wird. Das konnte ich auch nachvollziehen, denn $\begin{eqnarray} 2rVar(Y)-2Cov(X,Y) \stackrel{!}{=}0 <=> r^{}=\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)}=Korr(X,Y)\frac{\sigma_{X}}{\sigma_{Y}} \end{eqnarray}$ So, nun steht im Skript ohne Beweis, dass damit offensichtlich $\begin{eqnarray} Var(Z)\le Var(X) \end{eqnarray}$ , nur hab ich hier Probleme, das zu zeigen. Es muss dafür ja $\begin{eqnarray} r^{} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} Var(Z) \end{eqnarray*}$ eingesetzt werden oder? Wie löst man sowas aber dann auf? LG
12.10.2010, 15:44	Silv3rSurf3r	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergesst es, ich Trottel hatte die ganze Zeit einen Fehler drinnen und habs jetzt doch rausgekriegt

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