z^5 = 5 Komplexe Lösungen

11.10.2010, 18:08

Hotteleak

z^5 = 5 Komplexe Lösungen

Berechnen Sie die Summe aller komplexen Lösungen der Gleichung:

z^5 = 5

Gut ich hab mich mal wie folgt versucht und wie ich meine ein Lösung herausgefunden:

mit der Exponentialdarstellung kann man statt z^5 auch schreiben:
(r* e(phi))^5 = r^5 * e(5*phi)

und 5 kann man auch als 5 * e(o) schreiben

--> r^5 = 5 --> r = 5^(1/5)
und
--> e(0) = e (5*phi)

Da es sich bei dem Term in der Klammer ja um einen Winkel handelt, kann man auch schreiben e(0) = e(2*pi) = e(5*phi)

--> 2*pi = 5*phi

--> phi = 2/5 *pi

D.h. die erste Lösung wäre dann z = 5^(1/5) * e(2/5 *pi)

Es müsste aber glaube ich 5 Lösungen geben und von denen soll ich dann noch die Summe bilden, wie weiß ich jedoch leider nicht unglücklich

Kann ich irgendwie den WInkel mehrmals anwenden oder so? Und wie bilde ich dann die Summe?

xx
Hotteleak

11.10.2010, 18:31

tmo

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Du hast die erste Lösung aus $\begin{eqnarray*} 2\pi=5\varphi \end{eqnarray*}$ gewonnen.

Nun gewinnst du die nächste Lösung mit der nächsten ganzen Drehung, d.h. noch mal $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ drauf:

$\begin{eqnarray*} 4 \pi=5\varphi \end{eqnarray*}$

Und so weiter, bis sich die erste Lösung wiederholt.

Und zur Summe aller Lösungen: Entweder Satz von Vieta oder die geometrische Reihe. Beides führt dich zur Lösung.

11.10.2010, 18:57

Hotteleak

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Also ich hab jetzt noch eine Formel dazu gefunden und angewendet und habe folgene Ergebnisse raus:

z0 = 5^(1/5)
z1 = 5^(1/5) * e^(i*2/5*pi)
z2 = 5^(1/5) * e^(i*4/5*pi)
z3 = 5^(1/5) * e^(i*6/5*pi)
z4 = 5^(1/5) * e^(i*8/5*pi)

Das ganze (also die komplexen Lösungen) kann man eben auch in der Form mit sinus und cosinus darstellen.

Jetzt soll ich eben noch die Summe bilden. Habe dafür alles ausgerechnet und dann z1+z2+z3+z4 gerechnet und -1,3796 herausbekommen... kann das sein?

Die andere Form sähe eben so aus
z1 = 5^(1/5) * (cos (2/5*pi) + i*sin (2/5*pi))

Und das ausgerechnet habe ich dann bspweise:
z1 = 0,4264 + 1,3122*i

PS: meine Ausgangsformel: Zk = 5^(1/5) * e^[(i*phi + 2*k*pi)/n]

wobei k= 0,1,2,3,....n-1 ist und n in dem Fall 5

12.10.2010, 09:43

tmo

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Zitat:

Original von Hotteleak
Also ich hab jetzt noch eine Formel dazu gefunden und angewendet und habe folgene Ergebnisse raus:

z0 = 5^(1/5)
z1 = 5^(1/5) * e^(i*2/5*pi)
z2 = 5^(1/5) * e^(i*4/5*pi)
z3 = 5^(1/5) * e^(i*6/5*pi)
z4 = 5^(1/5) * e^(i*8/5*pi)

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Hotteleak
Jetzt soll ich eben noch die Summe bilden. Habe dafür alles ausgerechnet und dann z1+z2+z3+z4 gerechnet und -1,3796 herausbekommen... kann das sein?

Das kommt ca. hin, hat aber mathematisch keinen Wert, da das nur eine näherungsweise Rechnung mit den Näherungswerten für Cosinus und Sinus ist. Desweiteren müsste jetzt noch mal z0 draufgerechnet werden. Mach das mal mit dem Taschenrechner und guck was ca. rauskommt. Eine Vermutung?

Und dann wie gesagt: Für das exakte Ergebnis hilft dir eine allgemeinere Überlegung mit der geometrischen Reihe oder dem Satz von Vieta.

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