Extremwertaufgabe

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6464s54da665s4a65d4 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Ein Rechteck ABCD ist 12cm, lang und 8cm breit. M sei die Mitte von CD.
Dem Rechteck soll ein Parallelogramm so einbeschrieben werden, dass zwei Seiten parallel zu AM sind. Für welche Lage des Punktes P wird der Flächeninhalt des Parallelogramms am grössten?



Ich habe jetzt AM ausgerechnet mit dem Satz des Pythagoras:
AM =

Hauptbedingung:

Nebenbedingung??

Wie soll ich hier rangehen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bezeichne die Entfernung eines Eckpunktes des Paralleleogrammes von einem Eckpunkt des Rechteckes mit x, die des benachbarten anderen mit y und stelle damit die Fläche des Parallelogrammes als Differenz des Flächeninhaltes des Rechteckes und der durch x und y entstandenen 4 rechtwinkeligen Dreiecke dar. Die Nebenbedingung für x und y ergibt sich bei Anwendung des Ähnlichkeitssatzes (Strahlensatzes).

mY+
6464s54da665s4a65d4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt, ich verstehe es noch nicht?

Also A = 96- die 4 Dreiecke

Aber was sind denn die Flächeninhalte der dreiecke?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Na bitte, den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreieckes wirst du wohl noch kennen, oder wirklich nicht?

Die Bezeichnungen hast du unglücklich vorgenommen, du musst doch auch die Seitenlängen des Rechteckes mit einarbeiten. Statt des Fragezeichens bei D gehört dort x, links unten kommt dann (12-y) statt x und rechts oben (8-x). Infolge der Parallelität kommen (8-x) auch links unten und (12-y) rechts oben.

Nun brauchst du noch eine Beziehung zwischen x und y. Diese wird aus dem rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten 12 und 4 und dem dazu ähnlichen Dreieck (x, y) gewonnen.

mY+
6464s54da665s4a65d4 Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt am Ende y=9 raus?

Also:

Für P= 9cm wird der Flächeninhalt des Parallelogramms am grössten.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist dann x? Wie hast du das berechnet? Wie lautet die Fläche des Parallelogrammes? Was ist P?

mY+
 
 
6464s54da665s4a65d4 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie du gesagt hast habe ich vom Flächeninhalt des Rechteckes die vier Dreicke abgezogen:



Dann habe ich den Strahlensatz angewandt:




Das x habe ich in die Formel von A eingesetzt, dann abgeleitet und mit 0 gleichgesetzt.



x müsste ja dann 3 sein, wenn man y=9 in einsetzt.

P ist der aufgezeichnete Punkt auf der Abbildung.

Die Fläche des Parallelogrammes müsste jetzt: A= 96 - (27+15) = 54cm^2 sein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön gerechnet, alles passt! smile
Nur vielleicht statt 4/12 kannst du natürlich einfacher 1/3 nehmen.

mY+
6464s54da665s4a65d4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen dank Mythos! smile

Warum kann ich nie selber auf den Lösungsweg kommen?

Ich hoffe das kommt mit der Zeit, sonst versinke ich in Verzeiflung...
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