Gleichung nach x auflösen

12.10.2010, 14:39

feuereule

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Gleichung nach x auflösen

Hey,

Wieder mal Probleme.
Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Lösungsmenge!

$\begin{eqnarray*} 4^{2x} - 5 * 4^x = 3776 \end{eqnarray*}$

Ich habe dann logarithmiert mit ln:
$\begin{eqnarray*} 2x * \ln4 - 5x *\ln 4 = \ln 3776 \end{eqnarray*}$ teilen durch (ln 4)

$\begin{eqnarray*} 2x - 5x = \frac {\ln 3776} {\ln 4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 3x = \frac {\ln 3776} {\ln 4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = - \frac {\ln 3776} {3 \ln 4} \end{eqnarray*}$

Das wäre dann ~1,980... Das ist aber falsch. Was habe ich wiedermal alles missachtet? smile

smile

12.10.2010, 14:42

klarsoweit

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RE: Gleichung nach x auflösen

Zitat:

Original von feuereule
$\begin{eqnarray*} 4^{2x} - 5 * 4^x = 3776 \end{eqnarray*}$

Ich habe dann logarithmiert mit ln:
$\begin{eqnarray*} 2x * \ln4 - 5x *\ln 4 = \ln 3776 \end{eqnarray*}$ teilen durch (ln 4)

Und wieder wurde mit der Axt im Logarithmus-Wald geholzt. unglücklich

unglücklich

Ist etwa $\begin{eqnarray*} ln(4^{2x} - 5 * 4^x) = 2x * \ln4 - 5x *\ln 4 \end{eqnarray*}$ ?

12.10.2010, 14:46

feuereule

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RE: Gleichung nach x auflösen
Okay, ja mist. Es ist schwer den Wald vor lauter Bäumen zu sehen Hammer

Hammer

Aber $\begin{eqnarray*} ln(4^{2x} - 5 * 4^x) \end{eqnarray*}$ hilft mir auch nicht weiter oder?

Habe jetzt spontan an substituieren gedacht...

EDIT: unnötiges Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

12.10.2010, 14:49

klarsoweit

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RE: Gleichung nach x auflösen
Substituieren ist eine gute Idee. smile

smile

12.10.2010, 14:55

feuereule

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$\begin{eqnarray*} 4^{2x} - 5 * 4^x = 3776 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^{2x}=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z - 5 z^{\frac{1}{2}}= 3776 \end{eqnarray*}$

Dann würde ich quadrieren:

$\begin{eqnarray*} z^2 - 5 z - 14258176 = 0 \end{eqnarray*}$

Da kommt aber nur Quatsch raus mit der pq-Formel... Liegt mein Fehler beim z hoch 1/2?

12.10.2010, 14:57

klarsoweit

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Der Fehler liegt bei der Mißachtung der binomischen Formel beim Quadrieren. Mit der richtigen Substitution kann man das umgeben. Versuche mal $\begin{eqnarray*} 4^x=z \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

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12.10.2010, 15:04

feuereule

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Mit Beachtung der binomischen Formel:
$\begin{eqnarray*} z^2 +25 z - 10 z^{\frac{1}{2}} - (3776)^2= 0 \end{eqnarray*}$
Da würde ich nur über die Polynomdivision weiterkommen oder?

12.10.2010, 15:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von feuereule
Mit Beachtung der binomischen Formel:
$\begin{eqnarray*} z^2 +25 z - 10 z^{\frac{1}{2}} - (3776)^2= 0 \end{eqnarray*}$

Also wenn schon, dann müßte es $\begin{eqnarray*} z^2 +25 z - 10 z^{\frac{3}{2}} - (3776)^2= 0 \end{eqnarray*}$ lauten.

Für eine Polynomdivision sollten die Exponenten ganzzahlig sein und obendrein brauchst du auch eine Lösung.

Du solltest also meinen Vorschlag beherzigen.

12.10.2010, 15:41

feuereule

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$\begin{eqnarray*} 4^x=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2 - 5z - 3376 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich wende pq-Formel an:
$\begin{eqnarray*} 6,25 +- \sqrt {6,25 + 3376} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6,25 +- 58,157114 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1=64,407114 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 4^x= 64,407114 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x= 3,0045740 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z2=-51,90711 \end{eqnarray*}$ => nicht auflösbar

12.10.2010, 15:46

klarsoweit

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So ganz richtig hast du die pq-Formel nicht angewendet. Lehrer

Lehrer

12.10.2010, 15:55

feuereule

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Hm das kommt wenn man das am Rechner schreibt und nicht aufs Papier Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 2,5 +- \sqrt {6,25 + 3376} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2,5 +- 58,157114 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1=60,657114 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 4^x= 60,657114 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x= \frac{\ln 60,657114}{\ln 4}= 2,9613024 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z2=-55,657114 \end{eqnarray*}$ => nicht auflösbar

Lösung soll aber exakt x=3 sein. Eine so starke Abweichung nur da man einige Kommastellen weggelassen hat?

12.10.2010, 16:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von feuereule
$\begin{eqnarray*} z^2 - 5z - 3376 = 0 \end{eqnarray*}$

Du hast mich reingelegt. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Es muß $\begin{eqnarray*} z^2 - 5z - 3776 = 0 \end{eqnarray*}$ heißen!

12.10.2010, 16:04

feuereule

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? Habe ich etwas anderes gesagt? Jetzt bin ich noch mehr verwirrt Erstaunt2

Erstaunt2

EDIT: unnötiges Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.10.2010, 08:30

klarsoweit

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Also nochmal:

Es muß $\begin{eqnarray*} z^2 - 5z - 3776 = 0 \end{eqnarray*}$ heißen und du hast

Zitat:

Original von feuereule
$\begin{eqnarray*} z^2 - 5z - 3376 = 0 \end{eqnarray*}$

geschrieben.

Ich hoffe, du siehst den Unterschied.

13.10.2010, 18:00

feuereule

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Nein, tut mir Leid. Ich sehe keinen enzigen Unterschied (nichtmal im Latex-Code).

13.10.2010, 19:02

klarsoweit

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Dann rate ich dir dringendst, einen Augenarzt aufzusuchen. geschockt

geschockt

14.10.2010, 21:05

feuereule

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Das was du geschrieben hast ist 100% identisch mit dem was du auch zitiert hast.
Tränen

Tränen

14.10.2010, 21:07

Equester

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Da ER off ist xD

3776...

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