am gleichen Tag Geburtstag

10.11.2006, 19:56

vektorraum

am gleichen Tag Geburtstag

Und noch eine für heute...
Es werden nämlich k Personen ausgewählt. Ermitteln sie die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei dieser Personen am selben Tag Gebutrstag haben. Dabei sei vorausgesetzt, dass die Geburten über das Jahr hinweg gleichmäßig verteilt sind und niemand am 29.2. Geburtstag hat. Wie groß muss k sein, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens 0,5 bzw. 0,9 beträgt??

Sorry, aber hier habe ich überhaupt gar keine Ahnung... Kann man sich die Aufgabe vielleicht irgendwie mit dem Urnenmodell vorstellen? Ich wüsste sonst gar nicht, welche Formel ich für die erste Frage verwenden soll...

Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte...

Wink

10.11.2006, 20:02

Lazarus

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Frage vorher: Sollst du das mit kombinatorischen Mitteln machen oder mit Wahrscheinlichkeiten ?
Wie Groß ist die Wahrscheinlichkeit das eine Person an einem Tag Geburtstag hat ?
Wie groß ist demzufolge das gegenereigniss das die Person gerade an diesem einen Tag nicht Geburtstag hat ?
Was passiert wenn wenn mans für 2 (oder k) personen durchspielt ?

Und jetzt einfach > .5 ; .9 setrzten und ausrechnen..

10.11.2006, 20:10

Mathespezialschüler

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Verschoben (diese Aufgabe wird auch oft genug in der Schule gestellt)

10.11.2006, 20:11

vektorraum

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@Lazarus: Danke für die schnelle Antwort. Wie man es löst ist glaube ich egal. Ich habe noch keine Stochastik-Vorlesungen besucht, sondern die Aufgaben sind einfach mal so zu lösen! Also denke ich, dass das Verfahren egal ist...

Die Warhscheinlichkeit, dass eine Person Geburtstag hat ist

$\begin{eqnarray*} P(x)=\cfrac{1}{365} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \overline{P(x)}=\cfrac{364}{365} \end{eqnarray*}$ gerade das Gegenereignis???

Für zwei Personen... Muss ich hier die Wahrscheinlichkeit P(x) einfach nochmal dazu multiplizieren??? Oder wie machs ich es für mindestens zwei???

Danke...

10.11.2006, 20:38

Mathespezialschüler

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Wenn du die Wahrscheinlichkeit, dass alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ verschiedenen Personen unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, hast, dann kannst du ja darüber die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen. Nimm dir die 1. Person, für die gibt es $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ mögliche Geburtstage. Für die 2. Person gibt es nur noch $\begin{eqnarray*} 364 \end{eqnarray*}$ , da die Tage ja nicht gleich sein sollen! Das machst du einfach bis zur $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Person. Dann musst du noch alle beliebigen Möglichkeiten bestimmen und beachten, dass gilt

$\begin{eqnarray*} p=\frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

10.11.2006, 20:48

vektorraum

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Hi! Danke für die Antwort! Sorry, auch wenn ich mich mit der Aufgabe sehr blöd anstelle, aber wie gesagt: hab kein gutes verhältnis zur stochastik...

Also, wenn alle Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben sollen, dann kann man doch maximal 365 Personen auswählen, oder???
Was bedeutet Anzahl der günstigen Fälle? das mindestens zwei Personen am selben Tag haben?
Anzahl der möglichen Fälle? Wie viele Personen an unterschiedlichen Tagen geburstag haben??

10.11.2006, 20:54

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich muss $\begin{eqnarray*} k\leq 365 \end{eqnarray*}$ sein, ansonsten ist die WK $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ . Anzahl der günstigen Fälle ist die Anzahl der Fälle, an denen alle an versch. Tagen Geburtstag haben. Das ist zwar dann noch nicht deine gesuchte WK, aber die ergibt sich ja dann als $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ . Die Anzahl der möglichen Fälle ist einfach die Anzahl aller Fälle, die eintreten können.

Gruß MSS

10.11.2006, 21:07

vektorraum

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Danke!

Anzahl der Fälle, an denen alle an verschiedenen Tagen haben ist doch dann $\begin{eqnarray*} 365! \end{eqnarray*}$ oder???
Die Anzahl der möglichen Fälle, die eintreten können: also dass zwei personen an verschiednene tagen haben, dass drei an verschiedenen tagen haben usw.???

10.11.2006, 21:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von vektorraum
Anzahl der Fälle, an denen alle an verschiedenen Tagen haben ist doch dann $\begin{eqnarray*} 365! \end{eqnarray*}$ oder???

Nein, das gilt nur für $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ Personen. Was ist, wenn wir nur drei Personen haben? Für die erste gibt es $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ mögliche Tage, für die zweite $\begin{eqnarray*} 364 \end{eqnarray*}$ , für die dritte $\begin{eqnarray*} 363 \end{eqnarray*}$ . Wie viele Möglichkeiten gibt es dann insgesamt, die günstig sind?
Alle möglichen Fälle: Da gibt es doch für jede Person $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ mögliche Tage!

Gruß MSS

10.11.2006, 21:25

vektorraum

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Nein, das gilt nur für $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ Personen. Was ist, wenn wir nur drei Personen haben? Für die erste gibt es $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ mögliche Tage, für die zweite $\begin{eqnarray*} 364 \end{eqnarray*}$ , für die dritte $\begin{eqnarray*} 363 \end{eqnarray*}$ . Wie viele Möglichkeiten gibt es dann insgesamt, die günstig sind?
Alle möglichen Fälle: Da gibt es doch für jede Person $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ mögliche Tage!

Gruß MSS

$\begin{eqnarray*} {365\choose k} \end{eqnarray*}$ ???
Und Anzahl der möglichen Fälle dann 365!

10.11.2006, 21:51

Mathespezialschüler

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Nicht raten! Nachdenken. Für die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Person gibt es noch $\begin{eqnarray*} 365-j+1 \end{eqnarray*}$ Tage zur Auswahl! Die Anzahl der Möglichkeiten ist dann also das Produkt dieser Zahlen von $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Du hast jetzt die Möglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge berechnet, aber die Personen sind natürlich verschieden!
Und zu allen Fällen: Alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Personen haben $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ Tage zur Auswahl. Wir haben ja jetzt nicht auf einmal $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ Personen, die alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben (die Anzahl der günstigen Fälle dafür hast du nämlich berechnet!). Was ist denn dann

$\begin{eqnarray*} \underbrace{365\cdot 365\cdot\ldots\cdot 365}_{k-\text{mal}} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

10.11.2006, 21:55

vektorraum

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wir haben ja jetzt nicht auf einmal $\begin{eqnarray*} 365 \end{eqnarray*}$ Personen, die alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben (die Anzahl der günstigen Fälle dafür hast du nämlich berechnet!). Was ist denn dann

$\begin{eqnarray*} \underbrace{365\cdot 365\cdot\ldots\cdot 365}_{k-\text{mal}} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

Sorry, wenns jetzt nix wird höre ich lieber für heute auf und fange morgen ausgeschlafen noch einmal damit an...
Meinst du, dass der Binomialkoeffizient 365 über k die günstigen Ereignisse sind?
Und die anzahl der möglichen Fälle ist dann $\begin{eqnarray*} 365^k \end{eqnarray*}$ ...

10.11.2006, 22:02

Mathespezialschüler

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Wie gesagt, du hast mit dem Binomialkoeffizienten die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, wenn man voraussetzt, dass die es egal ist, ob nun die erste oder die fünfte Person am 17.2. Geburtstag hat. Es ist aber eben nicht egal, weil die Personen ja verschieden sind. Augenzwinkern

Die Anzahl der günstigen Fälle ist also

$\begin{eqnarray*} 365\cdot 364\cdot\ldots\cdot (365-k+1) \end{eqnarray*}$ .

Die Anzahl der möglichen Fälle hast du schon richtig berechnet!

Gruß MSS

12.11.2006, 17:30

vektorraum

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Hi!

Hab nochmal drüber nachgedacht, und habe jetzt hoffentlich das richtige Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit ist also:

$\begin{eqnarray*} P(x)=1-\cfrac{365!}{(365-k)!\cdot 365^k} \end{eqnarray*}$

Ok, das Problem ist jetzt, dass ich dieses k bestimmen soll, so dass die Wahrscheinlichkeit größer als .5 oder .9 ist.

Also:

$\begin{eqnarray*} 0,5\leq 1-\cfrac{365!}{(365-k)!\cdot 365^k} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist hier das auflösen... Raten funktioniert nicht, weil mein Rechner die Werte nicht mehr ausrechnet...
Aber vereinfachen bringt mich auch nicht viel weiter. Kann mir nochmal jemand helfen???

12.11.2006, 18:09

Mathespezialschüler

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Die Wahrscheinlichkeit ist korrekt. Freude

Die Ungleichung kannst du nicht nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auflösen. Ich denke, man soll hier irgendwie abschätzen, sodass man dann einen einfacheren Term nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auflösen kann.

Gruß MSS

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