Zahlentheorie???

10.11.2006, 20:03

vektorraum

Zahlentheorie???

Hi!

Es seien p und q Primzahlen und q-p=2 und p>3.
Zu zeigen: Das arithmetische Mittel von p und q ist durch 3 teilbar.
Ferner: Vergrößert man das Produkt von p und q um 1, entsteht eine durch 18 teilbare Zahl

Meine erste Frage bezieht sich darauf, wie ich in dem Beweis dann meine Primzahlen darstellen soll??? D.h. kann ich das ganze irgendwie umschreiben???
Weil sonst weiß ich ja nur, dass q=2+p ist. Das arithmetische Mittel ist ja

$\begin{eqnarray*} x=\cfrac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ , für beliebige a und b.

Nun, ich kann ja einfach p und q einsetzen, aber warum soll das dann durch drei teilbar sein???

Danke für eure Hilfe!

Wink

10.11.2006, 20:11

therisen

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Hallo,

jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p > 3 \end{eqnarray*}$ lässt sich in der Form $\begin{eqnarray*} p=6n\pm 1 \end{eqnarray*}$ darstellen. Damit lässt sich schon mal was anfangen...

Gruß, therisen

10.11.2006, 20:34

Lazarus

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q-p=2 bedeutet bei p und q handelt es sich um sog. Primzahlzwillinge.

diese kann man darstellen durch $\begin{eqnarray*} 6n\pm 1 \end{eqnarray*}$

\\edit: ups.. hab des fenster hier vergessen - hätte aktualisieren sollen bevor ich absende.
naja..

10.11.2006, 20:38

vektorraum

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Hi! danke an euch beide... von dieser darstellung habe ich leider noch nix gehört... ist dabei eigentlich $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
hab das jetzt mal probiert. also sei p=6n+1. Dann ist nach Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} q=6n+3 \end{eqnarray*}$

Ist dieser Schritt ersteinmal überhaupt erlaubt ??? Weil dann würde ich einfach nur noch in die arithmetische formel einsetzen und ausrechnen... aber ist q in dem fall überhaupt eine primzahl??

10.11.2006, 20:42

Mathespezialschüler

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Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N, n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 6n+3 \end{eqnarray*}$ doch gar keine Primzahl! Also geht das gar nicht ...
Damit muss $\begin{eqnarray*} p=6n-1 \end{eqnarray*}$ sein, eine andere Darstellung für Primzahlen gibt es, wie gesagt, nicht.

Gruß MSS

10.11.2006, 20:53

vektorraum

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OK. Sei also $\begin{eqnarray*} p=6n-1 \end{eqnarray*}$ Dann ist nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} q=6n+1 \end{eqnarray*}$
Also ist das arithmetische Mittel doch

$\begin{eqnarray*} x=\cfrac{6n-1+6n-1}{2}=6n \end{eqnarray*}$

Müsste ich jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 6n \end{eqnarray*}$ immer durch 3 teilbar ist???

10.11.2006, 20:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von vektorraum
Müsste ich jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 6n \end{eqnarray*}$ immer durch 3 teilbar ist???

Das sollte doch eigentlich klar sein, dass jedes Vielfache von $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilbar ist. Augenzwinkern

Übrigens solltest du aber vielleicht noch begründen, warum für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} >3 \end{eqnarray*}$ entweder nur die Darstellung $\begin{eqnarray*} 6n-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 6n+1 \end{eqnarray*}$ möglich ist.

Gruß MSS

10.11.2006, 21:01

vektorraum

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Ja na klar, aber man weiß ja nie, wie die Profs sich mal wieder haben... Sonst häng ich noch ne Vollständige Induktion dran Hammer

Warum ich diese Darstellung überhaupt wählen kann??? Na ja, weil ihr es gesagt habt. Nee - weiß ich leider nicht. Wir haben uns noch nicht so intensiv mit Primzahlen auseinandergesetzt... Auf Wikipedia steht auch nur die Aussage, dass man es einfach machen darf...

Und wegen Aussage zwei von oben:

$\begin{eqnarray*} p\cdot q=(6n-1)(6n+1)=36n^2=(6n)^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Aussage auch bewiesen, oder???

Edit: Code

10.11.2006, 21:22

Mathespezialschüler

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Du musst aber $\begin{eqnarray*} pq+1 \end{eqnarray*}$ bilden! Und warum schreibst du $\begin{eqnarray*} 36n^2=(6n)^2 \end{eqnarray*}$ ? An der ersten Darstellung sieht man doch viel besser, dass das durch $\begin{eqnarray*} 18 \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Gruß MSS

10.11.2006, 21:28

vektorraum

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Ja klar, hab ich natürlich gemeint, hab es nurmal wieder vergessen mitzuschreiben Hammer

aber klar, so sieht man die aussage am schnellsten!

Danke für deine Hilfe Prost

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