strukturerhaltende Abb. gesucht

12.10.2010, 17:08

hansi1112

strukturerhaltende Abb. gesucht

Folgende Aufgabe:

Gesucht sind alle strukturerhaltende Abbildungen von (Z3, +3) auf sich selbst.

(+3 ist die normale Addition modulo 3.)

Strukturerhaltend bedeutet hier:

f (x +3 y) = f (x) +3 f (y)

Jetzt hab ich hier die Lösung vor mir und brauche eine Erklärung:
es gibt 3 abbildungen:

A:
0 1 2
0 1 2 (die Identität)

B:
0 1 2
0 2 1

C:
0 1 2
0 0 0 (alle Elemente werden auf das neutrale Element abgebildet

Wie komme ich auf die Lösungen? Der Prof hat gesagt, dass man lediglich beachten muss, dass das neutr. element auf das neutr. element wieder abgebildet wird.

Gehört das zur Definition von "strukturerhaltend" ? dachte nur bei einem Isomorphismus zwischen 2 Gruppen muss das n.E. auf das n.E. der anderen Gruppe ebgebildet werden.

Und kann mir jemand die Abb C erklären?
DANKE

12.10.2010, 17:27

lgrizu

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RE: strukturerhaltende Abb. gesucht

Zitat:

Original von hansi1112

Wie komme ich auf die Lösungen? Der Prof hat gesagt, dass man lediglich beachten muss, dass das neutr. element auf das neutr. element wieder abgebildet wird.

Gehört das zur Definition von "strukturerhaltend" ? dachte nur bei einem Isomorphismus zwischen 2 Gruppen muss das n.E. auf das n.E. der anderen Gruppe ebgebildet werden.

es braucht keinen isomorphismus, homomorphismus ist strukturerhaltend, bijektivität wird nicht gefordert.
es ist relativ leicht zu zeigen, dass in jedem homomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: A \to B \end{eqnarray*}$ gilt, dass dieser das neutrale element von A auf das neutrale element von B abbildet:
$\begin{eqnarray*} \phi (a)= \phi(a+0)=\phi(a)*\phi(0) \end{eqnarray*}$ , daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \phi(0) \end{eqnarray*}$ das neutrale element von B ist.
(ich habe hier + als verknüpfung in A gewählt, * in B)

Zitat:

Original von hansi1112
Und kann mir jemand die Abb C erklären?
DANKE

überlege einfach, ob C die homomorphiebedingung erfüllt...

12.10.2010, 17:31

Cugu

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Zitat:

Der Prof hat gesagt, dass man lediglich beachten muss, dass das neutr. element auf das neutr. element wieder abgebildet wird.

Das ist also notwendig, aber nicht hinreichend.
Wäre $\begin{eqnarray*} f(1)+f(2)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so würde $\begin{eqnarray*} f(1+2)=f(0)=0\neq f(1)+f(2) \end{eqnarray*}$ folgen.

Eine zweite notwebdige Bedingung ist also $\begin{eqnarray*} f(1)+f(2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Da bleiben nur noch die drei Abbildungen übrig.

13.10.2010, 11:17

hansi1112

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Danke für die ausführlichen Antworten!
Dass das n.E. auf das n.E. abgebildet wird, da sich dies aus der Def. von "strukturerhaltend" ergibt, habe ich jetzt verstanden. Freude

Aber wie kommt man jetzt auf die Lösungen?
Muss man jede einzelne Kombination ausprobieren?

z.B. ist

D:
0 1 2
0 0 1

KEINE strukturerhaltende Abb.

Wenn ich z.B. alle strukturerhaltenden Abb. von (1111, +9) auf sich suchen will, dann kann ich doch nicht alle Kombinationen ausprobieren, das sind viel zu viele. Gibts da einen "Trick"?

13.10.2010, 15:56

Cugu

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Zitat:

Eine zweite notwebdige Bedingung ist also $\begin{eqnarray*} f(1)+f(2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Dein $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ klappt also nicht.

Ja, klar gibt es einen Trick:
Du setzt $\begin{eqnarray*} f(0)=0, f(1)=a \end{eqnarray*}$ und der Rest ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} f(2)=f(1)+f(1)=2a, f(3)=3a \end{eqnarray*}$ usw.
Du musst nur wissen, was ein Erzeuger tut.

13.10.2010, 18:46

hansi1112

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also, ich will jetzt auf (Z4, +4) einen Homomorphismus machen

0 1 2 3
0 a ? ?

f(0) = 0
f(1) = a

Es ist eine zyklische Gruppe: also 1 elementiges Erz.system S={1}

1+1 = 2, 1+1+1=3 usw...

Was macht denn nun mein Erzeuger?

ich habe doch jetzt f(2) = a+a, aber welchen Wert muss jetzt das Bild meines Erzeugers annehmen, was ist a?

13.10.2010, 19:13

Cugu

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Zitat:

aber welchen Wert muss jetzt das Bild meines Erzeugers annehmen, was ist a?

Such dir was aus! Das ist doch kein Zufall, dass genau drei verschiedene Abbildungen mit drei Verschiedenen Werten für $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ herauskamen!

Modulo $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ werden das wohl vier strukturerhaltende Abbildungen sein...

13.10.2010, 22:05

hansi1112

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Zitat:

Original von Cugu
Such dir was aus! Das ist doch kein Zufall, dass genau drei verschiedene Abbildungen mit drei Verschiedenen Werten für $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ herauskamen!

Modulo $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ werden das wohl vier strukturerhaltende Abbildungen sein...

THX

ich wähle: f(1) = 2, das Bild meines Erzeugers ist 2

f(1 +4 1) = f(1) +4 f(1)
f(2) = 2 +4 2 = 0

=>
f(2 +4 1) = f(2) +4 f(1)
f(3) = 0 +4 2 = 2

also sieht meine Abb. so aus

0 1 2 3
0 2 0 2

Die nächsten Abb. wäre also:

0 1 2 3
0 3 x y

0 1 2 3
0 1 2 3

und

0 1 2 3
0 0 0 0

oder?

und ein dickes DANKE nochmal

13.10.2010, 22:47

lgrizu

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das ganze sieht so weit korrekt aus.
nur, was sind hier x und y?
das solltest du noch sagen.....

Zitat:

Original von hansi1112

Die nächsten Abb. wäre also:

0 1 2 3
0 3 x y

14.10.2010, 12:28

hansi1112

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Ja klar, hatte nur keine List das nochmal zu rechnen Big Laugh