Projektion auf Eigenräume

12.10.2010, 20:30

hnky

Projektion auf Eigenräume

hallo,

ich habe probleme mit folgender aufgabe:

Zitat:

Führe die projektionen auf die eigenräume am beispiel der matrix A durch, die als matrix bezüglich einer orthonormalbasis aufgefasst werden soll.
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich habe zunächst einmal die eigenräume bestimmt, diese sind $\begin{eqnarray*} V(1,A)=<\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(5,A)=<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

aber dann weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen muss.

die matrix einer orthogonalprojektion bezüglich einer orthonormalbasis ist immer symmetrisch, aber wie genau mir das hier weiterhelfen kann, sehe ich noch nicht.

hat jemand vielleicht einen tipp für mich?

danke schonmal im voraus.

12.10.2010, 21:53

jester.

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Du hast $\begin{eqnarray*} V=E_A(5)\oplus E_A(1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mu_A(X)=(X-1)(X-5) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ sei das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ).
Wende den erweiterten euklidischen Algorithmus auf $\begin{eqnarray*} p:=X-1, ~q:=X-5 \end{eqnarray*}$ an, um zwei Polynome $\begin{eqnarray*} r,s \in \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ zu finden, sodass $\begin{eqnarray*} 1=rp+sq \end{eqnarray*}$ . Damit hast du dann eine Zerlegung der 1 beziehungsweise der Identität in $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}(V) \end{eqnarray*}$ .
Setze dann $\begin{eqnarray*} \pi_1:=(rp)(A),~ \pi_2:=(sq)(A) \end{eqnarray*}$ .

Alternativ kann man das ganze natürlich auch völlig von Hand konstruieren. Dazu wähle dir OrthogonalBasen deiner Eigenräume, z.B. $\begin{eqnarray*} (B_1,B_2,B_3) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} E_A(1) \end{eqnarray*}$ , und ergänze diese zu einer OrthogonalBasis des Gesamtraumes, etwa $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B}:=(B_1,B_2,B_3,B_4) \end{eqnarray*}$ .
Dann kannst du dir deine Projektion einfach als Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis definieren, etwa $\begin{eqnarray*} ^\mathfrak{B} \pi ^\mathfrak{B}:=\operatorname{diag}(1,1,1,0) \end{eqnarray*}$ (dabei steht $\begin{eqnarray*} ^\mathfrak{B} \pi ^\mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ gerade für die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ). Diese Abbildungsmatrix musst du dann nur noch in deine Standardbasis überführen und bist fertig.

Irgendeine Vorgehensweise dazu solltest du aber auch in deinem Skript finden.

Edit: Siehe oben

13.10.2010, 11:09

hnky

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hallo,

vielen dank für deine hilfe, damit hab ich es hinbekommen smile

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