Ringtheorie II

13.10.2010, 11:08	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringtheorie II Hallo zusammen! ..hier nun der zweite Teil: Sei p eine Primzahl. Zeige $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} \equiv 0 \, modp \end{eqnarray}$ für 1 < k <p $\begin{eqnarray} \forall f \in \mathbb Z/p[x], f(x)^{p}=f(x^{p}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \geq 1, (1+x)^{{p}^{m}} = 1 + x^{{p}^{m}} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p[x] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 < j < p^{m} \, ; \, \begin{pmatrix} p^{m} \\ j \end{pmatrix} \equiv 0 \, modp \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \geq 1 \end{eqnarray}$ und k mit $\begin{eqnarray} ggT(p,k)=1 \, ; \, p \nmid \begin{pmatrix} p^{m}k \\ p^{m} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ diese Aufgabe war kein Problem da habe ich folgende Umformung gemacht: $\begin{eqnarray} f(x)^{p} \equiv a_n^{p}x^{pn}+a_{n-1}^{p}x^{p(n-1)} + \cdots + a_0^{p} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \equiv a_n{(x^{p})}^{n} + a_{n-1}{(x^{p})^{n-1}} + \cdots + a_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f(x^{p}) \end{eqnarray}$ Bei allen anderen bin ich momentan ziemlich ratlos.. wäre euch wirklich dankbar für jede Hilfe und Tipps !
13.10.2010, 16:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal zur 4: Versuche mal zu zeigen: $\begin{eqnarray} \binom{p^m-1}{j} = (-1)^j \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z / \mathbb Z p \end{eqnarray}$ . Schreibe dazu den Binomialkoeffizienten als Produkt und beachte: Jede natürliche Zahl n lässt sich als $\begin{eqnarray} n = p^s \cdot d \end{eqnarray}$ schreiben, wobei d teilerfremd zu p ist. Zusammen mit der bekannten Rekursionsbeziehung für Binomialkoeffizienten ist die zu zeigende Aussage kein Problem, wenn man obiges gezeigt hat. Die 3) ist ja dann nur eine Folgerung aus 4) Zu deiner Lösung der 2: Vielleicht noch ein klitzekleiner Hinweise auf den kleinen Fermat. Einfach nur hinschreiben kann man ja vieles.
13.10.2010, 17:57	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die andere Möglichkeit ist 3) zu zeigen und 4) zu folgern. Induktion über $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ . Dabei 1) und $\begin{eqnarray} (1+x)^{p^{m+1}}=(1+x)^{p^{m}p}=\left((1+x)^{p^{m}}\right)^p \end{eqnarray}$ verwenden. 5) erhält man durch Koeffizientenvergleich der Polynome $\begin{eqnarray} (1+x)^{p^mk} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1+x^{p^m})^{k} \end{eqnarray}$ . Bei 2) könnte man auch auf 1) + Induktion über die Zahl der Summanden verweisen. In jedem Fall sind die Schritte richtig.

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