Nullstellen eines Polynoms

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13.10.2010, 14:19	monchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen eines Polynoms Hi, ich soll für folgendes Polynom die Nullstellen berechnen: $\begin{eqnarray} 64x^{8} +48x^{6}+12x^{4}+x^{2} =x^{2}(64x^{6} +48x^{4}+12x^{2}+1) \end{eqnarray}$ damit wäre Null schonmal doppelte Nullstelle. Um für das noch übrig gebliebene Polynom die NS per Horner-Schema zu bestimme benötige ich die erste Nullstelle. Wäre dieses Polynom nomiert, kämen nur ganzzahlige Teiler der letzten Koeffizienten in Frage. Wenn ich mich recht erinnere, gibt es ein Verfahren (per Substitution) um das Polynom zu normieren und dennoch nur ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten. Ich konnte in meinen Büchern leider nichts finden. Hat jemand ein Idee?
13.10.2010, 14:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen eines Polynoms $\begin{eqnarray} 64x^{8} +48x^{6}+12x^{4}+x^{2} =x^{2}(64x^{6} +48x^{4}+12x^{2}+1) \end{eqnarray}$ Was treten hier denn für Exponenten auf? Und was kann man daraus bzgl. der Vorzeichen und der +1 folgern? Du suchst doch reelle Nullstellen, oder?
13.10.2010, 14:25	monchi	Auf diesen Beitrag antworten »
das Polynom ist das charakteristische Polynom einer linearen DGL. Ich benötige also leider auch die komplexen NS. Reelle gibt es keine...d.h. das Horner-Schema bringt mich an der Stelle eh nicht weiter
13.10.2010, 14:28	monchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach der Substitution von $\begin{eqnarray} z=x^2 \end{eqnarray}$ erhalte ich $\begin{eqnarray} z(64z^{3} +48z^{2}+12z+1) \end{eqnarray}$ hier könnte ich wenn ich die erste NS hätte per Horner die anderen ausrechnen. Hier steh ich dann aber wieder vor dem Problem das das Polynom nicht normiert ist
13.10.2010, 14:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Null ist schon noch reell. Ok, also auch komplex. Wie wäre es mit einer Substitution? $\begin{eqnarray} 0=64x^{6} +48x^{4}+12x^{2}+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z:=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=64z^{3} +48z^{2}+12z+1 \end{eqnarray}$ http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm Für z finden wir eine reelle und dann ggf. 2 Komplexe. So könnte man sich vortasten.
13.10.2010, 14:35	monchi	Auf diesen Beitrag antworten »
die Idee hatte ich auch^^ nur wie berechne ich von so einem Polynom die Nullstelle? Hast du evtl nen Ansatz für mich?
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13.10.2010, 14:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 0=64z^{3} +48z^{2}+12z+1 \end{eqnarray}$ Guck dir den Ausdruck mal scharf an. $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{64} = ... \end{eqnarray}$
13.10.2010, 14:55	monchi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{64} = 4 \end{eqnarray}$ also kann ich das Polynom in diese Form bringen: $\begin{eqnarray} 0=(4z)^3+12(2z)^2+62z+1 \end{eqnarray}$ anschließend erneut Substituieren $\begin{eqnarray} u=4z \end{eqnarray}$ liefert: $\begin{eqnarray} 0=u^3+3u^2+3u+1 \end{eqnarray}$ richtig?
13.10.2010, 15:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohl eher $\begin{eqnarray} 0=(4z)^3+3(4z)^2+34z+1 = ... \end{eqnarray*}$ Mit oder ohne Substituion. An was erinnert dich 1 3 3 1 ... ? Etwas bekannter ist 1 2 1.
13.10.2010, 15:02	monchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Pascalsche Dreieck? also $\begin{eqnarray} =(u+1)^3 \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} u=-1 \end{eqnarray}$ ist 3 fache NS!
13.10.2010, 15:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »

13.10.2010, 15:30	monchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe!!

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