Dichte von Verteilungen

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13.10.2010, 13:53	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte von Verteilungen Hallo zusammen !! Aufgabenstellung Finden Sie die Dichte von $\begin{eqnarray} Y = e^{X} \end{eqnarray}$ falls X die Cauchy-Verteilung hat .. ich verstehe die Bedeutung an sich nicht genau.. bzw. kann ich mir nichts unter einem derartigen Y vorstellen - habe im Skript sowie in unserer Fachliteratur nichts gefunden.. ..somit habe ich auch keine Ahnung, wie man an diese Aufgabe herangehen muss! Vielen lieben Dank für eure Hilfe !! eisley
13.10.2010, 15:15	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Du musst dir unter Y nichts vorstellen. Es ist halt eine Zufallsgröße. Wenn die Zufallsgröße X den Wert x annimmt, dann nimmt Y den Wert $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ an. Um die Dichte von Y zu bestimmen, musst du nur wissen, dass die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion ist. Und die Verteilungsfunktion von Y bekommst du aus der Verteilungsfunktion von X über die Definition der Verteilungsfunktion als Wahrscheinlichkeit. Das geht bei deiner Aufgabe einfach, weil die e-Funktion eine streng monotone Funktion ist.
13.10.2010, 15:20	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen ..ich habe nicht ganz verstanden, wie ich auf die Verteilungsfunktion von Y komme.. könntest du mir da etwas nachhelfen? lieben Dank! eisley
13.10.2010, 15:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Die Verteilungsfunktion ist doch definiert durch: $\begin{eqnarray} F_X(x)=P(X\leq x) \end{eqnarray}$ und wegen der strengen Monotonie der e-Funktion gilt: $\begin{eqnarray} P(X \leq x)=P(Y \leq e^x) \end{eqnarray}$ Jetzt füge die beiden Dinge zusammen.
13.10.2010, 15:34	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen dann wäre die Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} F_Y(y)=P(Y \leq e^{x}) \end{eqnarray}$ ?
13.10.2010, 15:45	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen So nützt das wenig. Du suchst doch einen Zusammenhang zwischen den beiden Verteilungsfunktionen. Dazu kannst du meine letzte Gleichung schreiben als: $\begin{eqnarray} F_X(x)=F_Y(e^x) \end{eqnarray}$ Allerdings möchtest du Verteilungsfunktion von Y als Funktion y und nicht als Funktion x. Also setze $\begin{eqnarray} y=e^x, \quad x= \ln y \end{eqnarray}$ in diese Gleichung ein.
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14.10.2010, 11:11	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Also ich konstruiere die Verteilungsfunktion von Y wie folgt: $\begin{eqnarray} F_Y(a)= P[y \leq a] = P[e^{x} \leq a] = P[x \leq log(a)] \\ = \int_{-\infty} ^{log(a)} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ wobei f(x) die Dichte von x ist. wäre das so besser?
14.10.2010, 14:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen So ist es richtig. Schöner fände ich, wenn man die zur Zufallsgröße Y gehörende Wertvariable y nennen würde statt a. Aber das ist Geschmackssache und mathematisch irrelevant. Die beiden letzten Schritte sollten klar sein: Die Gleichung nach a ableiten und dann in das Ergebnis die Dichtefunktion der Cauchyverteilung einsetzen.
14.10.2010, 14:16	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen muss ich das nicht noch so umformen, dass die obere Grenze des Integrals nur noch a und nicht mehr log(a) lautet? Danke !
14.10.2010, 15:03	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Nein, das kannst du nach der Kettenregel ableiten.
14.10.2010, 16:52	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Dann berechne ich also das Integral $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{log(a)} \! \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2} \, dx \end{eqnarray}$ und erhalte: $\begin{eqnarray} \frac{2 \cdot tan^{-1}(log(a))+ \pi}{2 \pi} \end{eqnarray}$ ..scheint dir diese Lösung plausibel? noch einmal vielen lieben Dank und einen schönen Abend ! eisley
14.10.2010, 17:14	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Du kannst natürlich erst das Integral berechnen und dann ableiten. Aber das widerspricht dem ethischen Grundprinzip der Mathematik, sich keine unnötige Arbeit zu machen. Deshalb denke ich auch gar nicht daran, mir das Ergebnis deiner Integration anzuschauen. Du kannst das Integral so ableiten, wie es dasteht. Das hat noch den großen Vorteil, dass die konkrete Dichtefunktion bis dahin überhaupt nicht eingeht. Das Ergebnis gilt für beliebige Dichtefunktionen von X. Erst nach dem Ableiten wird die konkrete Dichtefunktion eingesetzt.
14.10.2010, 17:29	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen diese Integral abgeleitet ergibt aber Null ?
14.10.2010, 17:40	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Wieso sollte das Null ergeben? Und falls es Null ergäbe, müsste es auch Null ergeben, wenn man erst integriert und ableitet.
14.10.2010, 17:58	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen ich kriegs nicht hin
14.10.2010, 18:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen Sind dir denn die elementaren Grundlagen der Differential- und Integralrechnung nicht vertraut? Es gilt nach der Kettenregel für so etwas: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \int \limits_c^{g(x)} f(t)dt=f(g(x))g'(x) \end{eqnarray}$
14.10.2010, 18:12	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte von Verteilungen ah gesehen! jetzt sollts gehen... lieben Dank für die Geduld !

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