Konvergenzsätze für Fourierreihen

13.10.2010, 16:30

eisley

Konvergenzsätze für Fourierreihen

Hallo zusammen!

..ich habe eine kleine Frage: ist es erlaubt zu sagen, dass alle Cauchy-Folgen in $\begin{eqnarray*} C_{2 \pi} \end{eqnarray*}$ konvergieren?

13.10.2010, 18:48

Muff Potter

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Könntest Du einmal kurz die Definition von $\begin{eqnarray*} C_{2 \pi} \end{eqnarray*}$ angeben?

13.10.2010, 22:32

gast_abcdef

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Ich nehme mal an, dass es sich um den Raum 2pi-periodischer stückweise stetiger Funktionen mit bestimmten Werten an den Unstetigkeitsstellen hat.
In dem Fall fehlt erstmal eine Norm, da es sich hierbei um einen unendlich dimensionalen Vektorraum handelt. Dieser kann bzgl. einer Norm vollständig und bzgl. einer anderen unvollständig sein.

13.10.2010, 23:18

gonnabphd

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Naja, wenn's um Fourierreihen geht, vermute ich mal, dass hier $\begin{eqnarray*} L^2(\mathbb S ^1) \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

In diesem Falle: Ja, denn die $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ -Räume sind Banachräume.

Wenn man jedoch nur die $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -Norm nimmt, und das ganze über den (stückweise) stetigen Funktionen macht (diese Vermutung läge auch relativ nahe), dann ist der Raum nicht vollständig (er ist gar dicht in $\begin{eqnarray*} L^2(\mathbb S ^1) \end{eqnarray*}$ )...

17.10.2010, 17:03

jessi85

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Ich habe die gleiche Frage die definition von $\begin{eqnarray*} C_2pi \end{eqnarray*}$ sind die stetige 2Pi periodische funktionen gemeint und es geht um fourierreihen.(wir sitzen mit eisley höchstwahrscheinlich in der selben Vorlesung smile

)

17.10.2010, 17:52

Abakus

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Zitat:

Original von jessi85
... $\begin{eqnarray*} C_2pi \end{eqnarray*}$ sind die stetige 2Pi periodische funktionen gemeint...

Ja, so hatte ich es auch aufgefasst, allerdings gibt es auch andere (begründete) Meinungen hier. Deshalb wäre es wichtig, solche Begriffe bei einer Frage wirklich kurz zu definieren.

Grüße Abakus smile

17.10.2010, 18:00

jessi85

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..und ist es erlaubt zu sagen das jede Cauchy-Folgen in $\begin{eqnarray*} C_2pi \end{eqnarray*}$ konvergiert?

Liebe Grüsse Jessi

17.10.2010, 18:27

gonnabphd

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Also nochmal:

In diesem Fall meint man mit $\begin{eqnarray*} C_{2\pi} \end{eqnarray*}$ den Raum der stetigen, 2-Pi-periodischen Funktionen. ABER: Man meint nicht nur die Menge dieser Funktionen, sondern man muss auch eine Metrik darauf definieren (z.B. durch eine Norm induziert), damit die Frage nach Konvergenz von Cauchy-Folgen sinnvoll wird.

Deshalb die nochmalige Gegenfrage: Über welche Metrik (Norm) reden wir?

17.10.2010, 19:20

jessi85

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also ich bin mir nicht sicher ob das eine Antwort ist aber ich schreib mal.
In meinen Unterlagen steht das:
...Der Raum $\begin{eqnarray*} C_2pi \end{eqnarray*}$ dieser Funktionen ist ein Skalarproduktraum mit

(f,g) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2Pi} \int_{0}^{2Pi}~f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$
und das system $\begin{eqnarray*} {e^(inx)} \end{eqnarray*}$ ist orthonormal bezürglich dieses Skalarprodukt

17.10.2010, 20:00

gonnabphd

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Gut. In diesem Falle ist der Raum nicht abgeschlossen. Du musst lediglich ein Beispiel einer Cauchyfolge finden, welche gegen eine nicht stetige Funktion konvergieren würde.

D.h. die Folge konvergiert in C_2pi dann natürlich nicht.

17.10.2010, 21:12

jessi85

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wie kann ich eine Cauchyfolge finden die gegen eine unstetige funtkion konvergiert? Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich beginnen soll.Währe froh für eure Hilfe..

Grüsse Jessi

17.10.2010, 21:48

gonnabphd

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Zitat:

wie kann ich eine Cauchyfolge finden die gegen eine unstetige funtkion konvergiert?

Mit ein klein bisschen Phantasie... unglücklich

Finde z.B. eine Folge, welche punktweise gegen die periodisch fortgesetzte Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 & x \in [0,\pi/2)\cup (3\pi/2, 1] \\ 1 & x \in [\pi/2, 3\pi/2] \end{cases} \end{eqnarray*}$

konvergiert. Und zeige, dass diese Folge eine Cauchyfolge in deinem Innenproduktraum ist. Zeige weiterhin, dass jede stetige Funktion einen positiven Abstand zu dieser Grenzfunktion hat.

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