Finden einer affinen Abbildung

13.10.2010, 17:04	BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Finden einer affinen Abbildung Seien a,b>0 und O=(0,0) der Nullpunkt von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Finde eine affine Abbildung $\begin{eqnarray} f=\mathbb R² \rightarrow \mathbb R² \end{eqnarray}$ mit f(O)=O (also lineare Abbildung), die die Ellipse $\begin{eqnarray} \epsilon_{a,b}=\{ (x,y)\in \mathbb R² \left. \right\| \frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1\} \end{eqnarray}$ in den Kreis $\begin{eqnarray} K(O,1)=\{ (x,y)\in \mathbb R² \left. \right\| x²+y²=1\} \end{eqnarray}$ überführt. Könnt ihr mir irgendwelche Hilfestellungen geben???? Denn ich hab nur: $\begin{eqnarray} P(x,y) \rightarrow P(\frac{x}{a},\frac{y}{b}) \end{eqnarray}$ Aber keine Ahnung ob diese Abbildung die Ellipse wirklich in den Kreis überführt und ob es eine affine Abbildung ist. Bin für jeden Ratschlag dankbar!
13.10.2010, 17:54	BB	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finden einer affinen Abbildung Eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: \epsilon^n \rightarrow \epsilon^n \end{eqnarray}$ nennt man affine Abbildung, falls für beliebige vier Punkte $\begin{eqnarray} P_1, P_2, P_3, P_4 \end{eqnarray}$ und für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ aus der Beziehung $\begin{eqnarray} \vec {P_1P_2}= t \times \vec {P_3P_4} \end{eqnarray}$ die gleiche Beziehung für die Bildpunkte folgt, $\begin{eqnarray} \vec {f(P_1)f(P_2)} = t \times \vec{f(P_3)f(P_4)} \end{eqnarray}$
14.10.2010, 14:28	BB	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finden einer affinen Abbildung Also, ich hab mich jetzt noch ein bisschen schlau gemacht. Ich weis nicht genau, ob wir affine Abbildungen auch so definiert haben, aber es ist offensichtlich auch eine Definition: $\begin{eqnarray} f(x)=\vec a + A \times \vec x \end{eqnarray}$ wobei A eine quadratische Matrix ist. Stimmt doch, oder? Also was die Aufgabe betrifft, habe ich ja dann drei Punkte und deren drei Bildpunkte. $\begin{eqnarray} <br /> P_1=(0,b) \rightarrow P'_1=(0,1)\\P_2=(a,0) \rightarrow P'_2=(1,0)\\P_3=(0,-b) \rightarrow P'_3=(0,-1)<br /> \end{eqnarray}$ Dann habe ich 6 Gleichungen, damit kann ich das System eindeutig lösen. $\begin{eqnarray} f(x)= \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b}\end{pmatrix} \times \vec x \end{eqnarray}$ Damit hätte ich doch jetzt eine gefunden. Ist zwar schon dieselbe wie vorher vermutet, aber jetzt hab ich doch gleich die Vorschrift verwendet. Wäre toll, wenn sich jemand dazu noch äußern könnte, denn wirklich sicher bin ich mir nicht. Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »