vollständige induktion

13.10.2010, 17:34	xxmaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige induktion Hi, ich hab ein Verständnisproblem bei der vollständigen Induktion. Mein Beispiel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k (k-1) =\frac{1}{3}n(n^{2}-1) \end{eqnarray}$ A(1): Induktionsbasis n=1: $\begin{eqnarray} 0=\frac{1}{3}n(n^{2}-1) \end{eqnarray}$ A(n): Induktionsvorraussetzung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k (k-1) =\frac{1}{3}n(n^{2}-1) \end{eqnarray}$ A(n+1): Behauptung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{(n+1)} k (k-1) =\frac{1}{3}(n+1)((n+1)^{2}-1) \end{eqnarray}$ A(n)->A(n+1) Schritt Hier hab ich nun mein Problem. Ich weiss dass ich von meiner Induktionsvoraussetzung ausgehen muss u auf beiden seiten (n) addieren muss. Was ich nicht weiss welches n genau und wie ich das herausfinde? Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
13.10.2010, 18:03	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige induktion hallo, im induktionsschritt schließt du von n auf n+1, also $\begin{eqnarray} n->n+1 \end{eqnarray}$ . es ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k-1)=\sum\limits_{k=1}^{n} k(k-1)+(n+1)(n+1-1) \end{eqnarray}$ das müsste dir weiterhelfen
13.10.2010, 18:27	xxmaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm müsste, tuts aber nicht :-) Mein Problem ist dass ich überhaupt keine Ahung habe was ich im ind. Schritt tun muss. Wir haben hier nur ein Beispiel gemacht. In diesem haben wir zur induktionsvoraussetzung auf der linken u der rechten seite (n+1) addiert. Nur ist das ja nicht immer n+1 oder? Wie finde ich nun heraus was ich auf jeder Seite addieren muss?
13.10.2010, 18:45	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
nun, das induktionsverfahren funktioniert im prinzip so, dass du zuerst zeigst, dass die aussage für n=1(in dem hier vorliegenden fall) gilt(Induktionsanfang), und dass sie dann auch für den jeweiligen nachfolger gilt, also n+1(Induktionsschritt). warum das ganze funktioniert, kannst du hier nachlesen. zu deinem konkreten problem: du weißt bereits, dass die aussage für n=1 gilt. nun musst du zeigen, dass sie auch für n+1 gilt. das bedeutet, du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k-1) =\frac{1}{3} (n+1)((n+1)^2-1) \end{eqnarray}$ gilt. fange dazu am besten auf der linken seite an, und forme solange um, bis du die zu zeigende rechte seite deiner gleichung erhälst. also: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=1}^{n} k(k-1) +(n+1)(n+1-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =.... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =.... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =.... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3} (n+1)((n+1)^2-1) \end{eqnarray}$ noch ein kleiner tipp: schau dir nochmal deine induktionsvoraussetzung an.
13.10.2010, 20:41	xxmaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
juhuu ich habs verstanden der nächste schritt wär dann: $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3} n(n^2-1)+((n+1)(n+1-1) \end{eqnarray}$ Das ganze dann nur noch so umformen damit als Ergebnis $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3} (n+1)((n+1)^2-1) \end{eqnarray*}$ rauskommt. Stimmt das soweit ?
13.10.2010, 21:00	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das stimmt
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13.10.2010, 21:07	xxmaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Super. Danke für die Hilfe

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