Mengenfrage...

13.10.2010, 18:07

bandchef

Mengenfrage...

Hi Leute!

Folgende Aufgabe hab ich:

$\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow A \cap \overline{B}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Wie kann man das beweisen?

13.10.2010, 18:12

Shortstop

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RE: Mengenfrage...

Zitat:

Original von bandchef
Hi Leute!

Folgende Aufgabe hab ich:

$\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow A \cap \overline{B}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Wie kann man das beweisen?

$\begin{eqnarray*} A \subset B <br /> \Rightarrow \overline{B} \subset \overline{A} <br /> \Rightarrow \cdots \end{eqnarray*}$

13.10.2010, 18:29

bandchef

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$\begin{eqnarray*} A \subset B = \overline{B} \subset \overline{A} = \overline{\overline{B} \subset \overline{A}} \end{eqnarray*}$

Wie gehts da jetzt weiter? Ich weiß, das ich jetzt die Verknüpfung ändern könnte und sich dann die doppelte Negierung über B und A aufhebt...

Wie geht's genau?

13.10.2010, 18:38

Airblader

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Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} A \subset B = \overline{B} \subset \overline{A} = \overline{\overline{B} \subset \overline{A}} \end{eqnarray*}$

Diese Zeile ist vollkommen sinnfrei und hat auch nichts mit dem zu tun, was kvnb sagte.

air

13.10.2010, 18:39

bandchef

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Meinst du eventuell wegen dem = ?

13.10.2010, 18:39

Airblader

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Zum Beispiel. Aber selbst, wenn ich mir da Implikationspfeile denke, so macht der von dir angefügte, letzte Ausdruck, keinen Sinn.

air

13.10.2010, 18:42

bandchef

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$\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$

Macht er für dich jetzt Sinn?

Wei kann ich jetzt allerdings weitermachen? Ich hab das irgendwie noch nicht durschaut

13.10.2010, 18:44

Airblader

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Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$

Macht er für dich jetzt Sinn?

Ja, das macht Sinn. Aber das ist ja genau, was kvnb schrieb.
Eventuell denkst du erstmal darüber nach, warum das Sinn macht, warum dein Ausdruck kein Sinn machte und was das, was kvnb schrieb, überhaupt bedeutet (anschaulich). Mir scheint, dass dir das nicht klar ist. Aber vorher gehts natürlich auch nicht weiter.

air

13.10.2010, 18:47

bandchef

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A ist Teilmenge von B. Das heißt alles was in A drin ist, ist in B sowieso (also, noch mehr als A beinhaltet) drin. Ok?

Wenn ich nun die beiden Mengen A und B negiere, ist klar, dass dann auf einmal B Teilmenge von a ist. Stimmt das so?

13.10.2010, 18:49

bandchef

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Bei mir hat es ersten schon mal keine Sinn gemacht weil es eben nicht "gleich" ist. Außerdem erdreiste ich mich aus dem nichts auf einmal die Beiden Mengen A und B und die Verknüpfung einseitig komplett zu negieren was natürlich auch flasch ist...

13.10.2010, 18:55

Airblader

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Vielleicht machst du dir erstmal klar, was "negieren" bedeutet: Du bildest (bzgl. einer Obermenge) das Komplement.

Jetzt male dir einfach mal ein Bild einer großen Obermenge M. In dieser liegt eine Menge B. Und in dieser Menge B liegt eine (Teil-)Menge A. Jetzt bilde die Komplemente und überzeuge dich davon, dass sich für die Komplemente von A und B (aber auch nur für die!) die Teilmengenrelation gerade umkehrt.

Vielleicht hilft dir auch gerade so ein Bild dann weiter, warum die zu beweisende Aussage denn stimmt. Denn im Grunde ist das sehr schön anschaulich.

air

25.10.2010, 19:44

bandchef

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Ich hab mir jetzt mal (auch wenn etwas Zeitversetzt... :-)) mal aufgemalt wie ich es mir vorstelle. Das Ergebnis siehst du unten...

Mein Überlegung:

A ist Teilmenge von B. Sieht man in Bild "1".

Nun ist A geschnitten mit dem negierten B. Wenn ich B negiere, ist alles was um die Menge B herum - war also die Obermenge M - die neue Menge B. Wenn Ich nun A mit B schneide, ergibt das eine leere Menge, da A mit quasi keinen Elementen geschnitten weden sollte was wiederum diese Leeremenge ergibt. Vergleich Bild 2.

Ist das jetzt soweit richtig?

Danke!

25.10.2010, 20:09

Airblader

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Die Ausdrucksweise ist furchtbar (das ist kein "neues" B, sondern das Komplement von B in M), aber die Idee stimmt. Die Aussage macht ja also Sinn. Augenzwinkern

Jetzt versuche dich erstmal an der Aussage, die kvnb nannte: $\begin{eqnarray*} A \subset B ~\Rightarrow~ \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ . Das ist nicht schwer. Nimm dir ein Element aus dem Komplement und zeige, dass es auch im Komplement von A liegen muss. Dafür ist vielleicht ganz hilfreich, dass eine Menge mit ihrem Komplement disjunkt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} A \cap \overline{A} = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Konstruiere einen Widerspruch unter der Annahme, das Element läge nicht im Komplement von A.

Danach musst du dir noch Gedanken machen, wie dir das für die zu beweisende Aussage nun hilft. Auch hier hilft dir wieder $\begin{eqnarray*} A \cap \overline{A} = \emptyset \end{eqnarray*}$ weiter.

air

25.10.2010, 20:34

bandchef

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An meiner Ausdrucksweise bezüglich der Mengenlehre werde ich noch feilen, versprochen :-)

Ich hab mir nun nochmal Gedanken zu dieser Aussage gemacht: $\begin{eqnarray*} A \subset B ~\Rightarrow~ \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ .

Mir leuchtet ein, dass wenn ich das Komplement von B und hier nun von A auch das Komplement bilde, dass dann $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ sein muss. Das jeweilige Komplement dreht also quasi die Teilmengenbeziehung der beiden Mengen um. Stimmt doch oder?

Ich kann's mir vorstellen und euch meinetwegen auch aufzeichnen, aber wie ich das jetzt beweisen soll weiß ich nicht.

PS: Normalerweise ist doch meine eigentliche Aufgabe die ich im ersten Post diesen Threads gepostet habe mit den beiden Bildern die ich in meinem vorletzten Post gesendet habe hinreichend bewiesen, oder?

25.10.2010, 20:52

bandchef

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Um's doch noch schriftlich zu beweisen hab ich jetzt folgendes aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} = \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} = A \cup \overline{A} \end{eqnarray*}$

Wie ich hier nun allerdings weiter machen soll weiß ich nicht; vielleicht kannst du mir ja nochmal helfen?

25.10.2010, 23:45

Airblader

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Bilder sind kein Beweis. Ohne formalen Beweis geht nichts. Augenzwinkern

Zitat:

Original von bandchef
Um's doch noch schriftlich zu beweisen hab ich jetzt folgendes aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} = \emptyset \end{eqnarray*}$

Das macht nicht wirklich Sinn. Links steht eine Aussage ("ist Teilmenge von") und rechts steht eine Menge. Aussagen und Mengen können nicht gleich sein.

Du willst eine Inklusion zeigen. Sei also $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$ . Zu Zeigen ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist.

Nehmen wir mal an, es wäre nicht so. Da eine Menge und ihr Komplement eine Partition von M bilden muss dann $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ gelten (es gibt ja keine andere Möglichkeit). Wenn aber $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ gilt, was folgt dann (denke an die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ )?
Wenn das dann aber der Fall ist, warum kommt es zum Widerspruch?

air

31.10.2010, 14:20

bandchef

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Sorry, aber ich hab bei deinem letzten Post leider nur wenig verstanden.

Dass, $\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} = \emptyset \end{eqnarray*}$ , keinen Sinn macht leuchet mir jetzt auch ein. Eine Aussage kann nicht gleich einer Menge, in diesem Fall eine leere Menge sein.

Es geht ja nun darum, die Aufgabe $\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow A \cap \overline{B}=\emptyset \end{eqnarray*}$ , die ich mir schon mit zwei Bildern veranschaulicht hab noch formalistisch zu beweisen.

Ich hab leider nach wie vor keine Ahnung was ich da machen soll.

Ich hab mir aber trotzdem nochmals Gedanken zu der Aufgabe gemacht. Es steht ja eigentlich da: A ist eine Teilmenge von B was äquivalent zu A geschnitten mit dem Komplement von B ist, das alles ist wiederum gleich der leeren Menge. Das heißt, wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ irgendwie "formalisitisch zusammenführen" könnte, dann müsste ja eigenlich die leere Menge rauskommen, oder?

Ist das jetzt soweit richtig, oder ist das wieder ein Hirngespinst, welches von meiner Unwissenheit kommt?

Kannst du mir weiterhelfen?

31.10.2010, 15:53

Airblader

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Zitat:

Original von bandchef
A ist eine Teilmenge von B was äquivalent zu A geschnitten mit dem Komplement von B ist, das alles ist wiederum gleich der leeren Menge.

Das ist, mal wieder, der selbe Fehler wie schon zuvor. Und im Übrigen solltest du dich halt nun zumindest mal dran versuchen, irgendwie musst du ja vorankommen. Den Anfang habe ich ja schon gemacht.

air

31.10.2010, 16:57

bandchef

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Sorry, aber so bringt mich das auch nicht weiter. Ich hock jetzt da schon seit fast 3h und bin kein stückchen weiter... ich weiß nicht wo ich anfangen soll... entspricht dieser pfeil auch wirklich der implikation?

31.10.2010, 17:00

Airblader

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Ich habe dir doch bereits den Anfang genannt und einen groben Weg skizziert:

Zitat:

Original von Airblader
Du willst eine Inklusion zeigen. Sei also $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$ . Zu Zeigen ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist.

Nehmen wir mal an, es wäre nicht so. Da eine Menge und ihr Komplement eine Partition von M bilden muss dann $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ gelten (es gibt ja keine andere Möglichkeit). Wenn aber $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ gilt, was folgt dann (denke an die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ )?
Wenn das dann aber der Fall ist, warum kommt es zum Widerspruch?

Wenn du damit wirklich garnichts anfangen kannst, dann muss ich leider passen. Wie ich fortfahren soll, ohne die Lösung hinzuschreiben, ist mir unklar. Du bist ja schon eine Weile dabei und hast bereits viele Lösungen dieser Art gesehen - eine Lösung würde dir also nichts (bei-)bringen.

Sofern du also gar nicht vorankommst gebe ich diesen Thread mal an alle Helfer frei, die vielleicht noch einen anderen Weg sehen, um es zu erklären.

air

31.10.2010, 17:02

bandchef

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Zitat:

Du willst eine Inklusion zeigen. Sei also $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$ . Zu Zeigen ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist.

Warum schreibst du Inklusion? Teilmenge is viel verständlicher...

warum gehst du immer von den komplementen aus und nicht von der eigentlichen aufgabenstellung?

Mit dem x meinst du wohl die Elemente die in den mengen drin sind, ja?

Zitat:

Du willst eine Inklusion zeigen. Sei also $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$ . Zu Zeigen ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist. Nehmen wir mal an, es wäre nicht so.

Was meinst du eigentlich mit dem Satz "Nehmen wir mal an, es wäre nicht so."?

31.10.2010, 17:10

Airblader

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RE: Mengenfrage...
$\begin{eqnarray*} A \subset B ~\Rightarrow~ \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$

Das willst du doch (vorerst) zeigen. Links steht deine Voraussetzung, rechts steht das, was die zu beweisende Aussage. Und die zu beweisende Aussage ist eine Inklusion*. Du musst also zeigen, dass alle Elemente aus dem Komplement von B auch im Komplement von A liegen. Voraussetzen darfst du für den Beweis, dass A eine Teilmenge von B ist.
Also nimm dir ein beliebiges Element aus dem Komplement von B und führe logische Schritte durch, um zu zeigen, dass es auch im Komplement von A liegt.

Mit dem Satz "Nehmen wir mal an, es wäre nicht so" meine ich einen Widerspruchsbeweis. Das Prinzip ist dor ja hoffentlich bekannt.

*) Ich nenne das so, weil es so heißt. Du weißt doch, was es bedeutet - wo ist das Problem?

air

31.10.2010, 17:12

bandchef

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Ist dieser Pfeil jetzt nur ein Strukturierungsmittel oder eine logische Operation der Art "Implikation"?

31.10.2010, 17:17

Airblader

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Er ist natürlich eine Implikation. Solche Pfeile streut man doch nicht aus Lust und Laune ein verwirrt

air

31.10.2010, 17:21

bandchef

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Zitat:

Also nimm dir ein beliebiges Element aus dem Komplement von B und führe logische Schritte durch, um zu zeigen, dass es auch im Komplement von A liegt.

Ein beliebiges Element soll nun x sein. $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ auch gilt. Also folgt: $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \subset x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ .

Du schreibst von logischen Schritten. Meinst du damit logische Verknüpfungen wie und oder, nicht?

31.10.2010, 17:24

bandchef

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Darf ich dann weiter soetwas machen?

$\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \subset x \in \overline{A} \Rightarrow x \in (\overline{B} \subset \overline{A}) \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 17:30

Airblader

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Zitat:

Original von bandchef
Ein beliebiges Element soll nun x sein. $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Jetzt soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ auch gilt.

Genau.

Zitat:

Also folgt: $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \subset x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ .

Die Zeile ist mir ein einziges Rätsel. Formal ist sie wieder sinnfrei, aber du darfst gerne auch Worte benutzen.

Zitat:

Du schreibst von logischen Schritten. Meinst du damit logische Verknüpfungen wie und oder, nicht?

Damit meine ich einfach logische Schritte, wie man sie in einem Beweis durchführt. Das ist doch nicht dein erster Beweis. unglücklich

Und die Zeile in deinem neuen Posting ist wieder völlig sinnfrei. Vielleicht gehst du mal einige Schritte zurück und lernst nun mal den Unterschied zwischen Aussage, Menge, Element, Teilmenge und Durchschnitt. Wenn du die Begriffe ständig bunt durcheinanderwürfelst, dann können wir hier auch nicht vorankommen. Das ist ja nicht böse gemeint, aber der Großteil des Threads hängt nun damit zusammen, dass du diese Begriffe nicht beherrschst. Wie willst du dann irgendwas diesbezüglich beweisen?

air

31.10.2010, 17:38

bandchef

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Entschuldige, wir haben in der FH zwar Beweise gemacht, aber nicht in Bezug auf Megen. Und ja, wenn nun in dieser Übung ein Beweis gefordert werden sollte, dann ist das mein erster eigenständiger Beweis... Von dem her ist ja nur logisch das ich keine Ahnung habe. Die Begriffe würfle ich auch nur deswegen durcheinander weil ich die Begriffe zwar weiß aber mir eben nicht klar ist wann ich welchen Begriff miteinander kombinieren darf. Kann es vielleicht sein, dass du in dieser Aufgabe ein größeres Problem siehst als es in Wirklichkeit ist?

Denn sowas was du hier mir vormachen möchtest, haben wir in der Schule nicht annähernd aufgeschrieben...

31.10.2010, 17:41

bandchef

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bei der eigentlichen aufgabenstellung steht ja rechts von der äquivalenz folgendes: $\begin{eqnarray*} A \cap \overline{A} = \emptyset \end{eqnarray*}$ weiter.

diese leere Menge kann ich ja mit $\begin{eqnarray*} A \cap \overline{A} \end{eqnarray*}$ erstzen wo dann folgt:

$\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow A \cap \overline{B}=A \cap \overline{A} \end{eqnarray*}$

Bringt michd as weiter?

31.10.2010, 17:54

Airblader

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Zitat:

Original von bandchef
Die Begriffe würfle ich auch nur deswegen durcheinander weil ich die Begriffe zwar weiß aber mir eben nicht klar ist wann ich welchen Begriff miteinander kombinieren darf.

Das ist, mit Verlaub, Quatsch. Wenn du ihre Bedeutung intus hast, dann weißt du auch, wie du sie "kombinieren darfst". Aber mit "kombinieren dürfen" habe ich schon überhaupt so meine Probleme. Du würfelst ja nicht Buchstaben zusammen, sondern sollst nachdenken und diese Gedanken mit den Begriffen formal darstellen. Was man wie kombinieren darf ergibt sich damit bereits automatisch.
Aber nochmal: Auf Zeichen darfst du gerne verzichten. In verständlichen Worten können wir arbeiten, mit sinnfreiem Buchstabensalat wirds aber leider schwer.

Zitat:

Kann es vielleicht sein, dass du in dieser Aufgabe ein größeres Problem siehst als es in Wirklichkeit ist?

Was soll das denn nun heißen verwirrt

Ich kann dir den Beweis problemlos hinschreiben. Aber ich habe ja kein Problem mit der Aufgabe, sondern du. Und du bist lange genug dabei, um zu wissen, dass es hier nicht darum geht, dir Komplettlösungen zu servieren.

Aber da wir ja momentan nichtmal am eigentlichen Problem, sondern nur einer Hilfsaussage werkeln, hier mal der vollständige Beweis dieser Hilfsaussage. Da du sagst, du kennst alle Begriffe, wirst du den Beweis ja nachvollziehen können:

Zitat:

Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} A \subset B ~\Rightarrow~ \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$ . Angenommen, es wäre $\begin{eqnarray*} x \not\in \overline{A} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ liegen muss, da eine Menge disjunkt zu ihrem Komplement ist, sie vereinigt aber die gesamte Grundmenge ergeben.
Aus unserer Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ folgt dann aber auch $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ . x ist also sowohl in B als auch in dessen Komplement. Dies ist unmöglich und damit ein Widerspruch. Ergo muss die Annahme $\begin{eqnarray*} x \not\in \overline{A} \end{eqnarray*}$ falsch sein und damit folgt $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x \in \overline{B} \end{eqnarray*}$ beliebig gewält war impliziert dies $\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ . Dies wollten wir zeigen.

So sieht der Beweis der Hilfsaussage aus. Sollte ja alles klar sein, du kennst ja die Begriffe, verstehst sie und kannst dir ggf. Zeichnungen zum Sachverhalt machen. Nun weißt du auch, wie mans richtig aufschreibt. Jetzt möchte ich von dir aber auch sehen, dass du mal auf dem eingeschlagenen Weg bleibst (wir geben diese Hinweise ja nicht umsonst!), dir überlegst, wie du diese Hilfsaussage anwenden kannst und dies vernünftig aufschreibst. Aber weiche bitte nicht ständig noch vom vorgeschlagenen Lösungsweg ab, das bringt nur noch mehr Verwirrung in diese Sache! Augenzwinkern

So als allgemeiner Tipp: All diese Symbole kann man in Worten lesen. Bevor du dein Posting abschickst lies die Formeln einfach mal laut vor. Wenn sowas wie "Sei A Teilmenge von B die leere Menge" herauskommt, dann sollte das Sprachgefühl ja schon Alarm schlagen und dir sagen, dass da was nicht stimmen kann. smile

air

31.10.2010, 18:03

bandchef

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Gut, da wir ja nun Bewiesen haben, dass $\begin{eqnarray*} A \subset B ~\Rightarrow~ \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ gilt, darf ich ja nun schreiben:

$\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} \Leftrightarrow A \cap \overline{B}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Das sollte doch nun korrekt sein, oder?

31.10.2010, 18:24

Airblader

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Die Aussage stimmt, ja. Aber wie begründest du, dass sie gilt? Du sollst es ja gerade beweisen. Und dazu musst du nun einfach etwas über die Voraussetzung (A ist Teilmenge von B), die bewiesene Hilfsaussage (dann ist das Komplement von B Teilmenge vom Komplement von A) und über den Begriff des Komplements (Menge und Komplement sind disjunkt) nachdenken. Weit ist es nicht mehr, aber begründen musst du es schon.

air

06.11.2010, 15:32

bandchef

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Gibt es da keine Rechenregeln, damit man $\begin{eqnarray*} A \subset B ~\Rightarrow~ \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ schreiben darf? Geht das wirklich nur über einen Beweis?

Der Implikationspfeil oben bedeutet doch eigentlich dass alle Fälle außer der Fall w f wahr sind. Kann man da nicht irgendwie "rechnen" damit?

Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich nun das letzte Stück beweisen soll...

06.11.2010, 17:07

Airblader

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Du kannst das als Rechenregel auffassen - aber Rechenregeln muss man ja auch erstmal beweisen und genau das ist dein Job.

Wir sollen beweisen $\begin{eqnarray*} A \subset B ~\Rightarrow~ A \cap \overline{B} = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Wir können also annehmen, dass $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ ist. Aus unserer Hilfsaussage wissen wir daher, dass $\begin{eqnarray*} \overline{B} \subset \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt nimm halt mal an, dass $\begin{eqnarray*} A \cap \overline{B} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ist (d.h. dass die zu beweisende Aussage falsch ist - das nennt man Widerspruchsbeweis). In dem Fall muss der Schnitt ja ein Element enthalten. Und das führst du zum Widerspruch, indem du was dazu sagst, was es denn bedeuten muss, wenn im Schnitt ein Element liegt.

Das ist, beim besten Willen, das letzte, was ich dazu sagen kann. Jetzt fehlt schon fast nichts mehr zum Beweis, nur noch das allerletzte Argument. Wenn du auch dieses nicht findest, dann musst du zu dem oben Gesagten nun halt alle Eigenschaften aufzählen, die du finden kannst. Viel mehr dazu sagen kann ich beim besten Willen nicht mehr.

air

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