Ableitung mit Kettenregel

13.10.2010, 21:34

qOLDiiiii :)

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Ableitung mit Kettenregel

Hallo Leute!
Ich soll folgende Aufgabe ableiten mit hilfe der Ketten- und/ oder Produktregel.

$\begin{eqnarray*} f(x)= x\cdot \sqrt{1+ x²} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich ja die Produktregel anwenden?!

f´= u´v+ v´u

aber ich komm mit der Wurzel nicht klar?
meine Idee
f´(x)= $\begin{eqnarray*} 1\cdot (\sqrt{1+x²} ) + (1+x²)^{\frac{1}{2} } \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

13.10.2010, 21:40

corvus

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RE: Ableitung mit Kettenregel

Zitat:

Original von qOLDiiiii
...ableiten mit hilfe der Ketten- und/ oder Produktregel.

$\begin{eqnarray*} f(x)= x\cdot \sqrt{1+ x²} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich ja die Produktregel anwenden?! ja

f´= u´v+ v´u

aber ich komm mit der Wurzel nicht klar?

$\begin{eqnarray*} v(x)= \sqrt{1+ x²} -> v' = ... \end{eqnarray*}$
hier darfst du dann die Kettenregel anwenden smile

smile

.

13.10.2010, 21:52

qOLDiiiii :)

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geschockt

unglücklich

unglücklich

v´(x) = $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{1}{2} \cdot (1+x²)^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} (1+x²)^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

verinfacht: $\begin{eqnarray*} {-\frac{1}{2} } +x^{-1} \end{eqnarray*}$

13.10.2010, 22:06

corvus

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Zitat:

Original von qOLDiiiii

v´(x) = $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{1}{2} \left(\sqrt{1+x²} \right)^-{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

.................... nein

$\begin{eqnarray*} v(x)= \sqrt{1+ x²} \end{eqnarray*}$

innere Funktion
$\begin{eqnarray*} w= 1+ x² \end{eqnarray*}$ .. Ableitung dw/dx=

äussere Funktion
$\begin{eqnarray*} v= \sqrt{w} = w^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ .. Ableitung dv/dw=

Kettenregel
$\begin{eqnarray*} v'= \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw}\cdot \frac{dw}{dx} \end{eqnarray*}$

versuch es : ....

13.10.2010, 22:09

qOLDiiiii :)

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? die Buchstaben verwirren mich etwas ... ich hab meinen Beitrag verbessert?!!! smile

smile

..ich verusche es nochmal?!

13.10.2010, 22:32

corvus

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Zitat:

Original von qOLDiiiii
? die Buchstaben verwirren mich etwas ... ich hab meinen Beitrag verbessert!!!
!

wo?
alle deine bisherigen Versuche für die Ableitung von v sind ja leider haarsträubend falsch.

du solltest halt mal in deinen Unterlagen , deinem Buch, oder im Internet nachschauen,
wie die Kettenregel funktioniert.

.. und wo ist das Problem mit den Buchstaben da oben?
es wurde einfach zB der Name w für 1+x^2 erfunden..
usw. .. du müsstest nur noch das angegebene "Rezept"
zum Umgang mit diesen Buchstaben anwenden...

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13.10.2010, 22:45

qOLDiiiii :)

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f(x) = u*v
f´(x) = u´* v + v´* u

und

f(x)= u(v)
f´(x) = v´ *u´
Kettenregel hab ich so verstanden: f(x) = äußere Ableitung* innere Ableitung?

u= x und v= $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ x²} \end{eqnarray*}$

13.10.2010, 23:09

corvus

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Zitat:

Original von qOLDiiiii
f(x) = u*v
f´(x) = u´* v + v´* u ...richtig (Produktregel)
und

f(x)= u(v)
f´(x) = v´ *u´

vergiss das sofort wieder

Kettenregel hab ich so verstanden: f(x) = äußere Ableitung* innere Ableitung?
das ist im Prinzip richtig

nur wendest du das bei deinem Beispiel nicht für f(x) an,
sondern nur für v(x)
$\begin{eqnarray*} v= \sqrt{1+ x²} \end{eqnarray*}$

hier ist die innere Funktion 1+x^2
und die äussere Funktion ist die Quadratwurzel
die Ableitung sieht dann also so aus:

$\begin{eqnarray*} v'= \frac{1}{2\cdot \sqrt{1+x^2} } * 2x \end{eqnarray*}$

versuche das nachzuvollziehen

am Schluss musst du für die Ableitung von f(x) alle vier Ausdrücke dann in
deine zu Beginn notierte Produktregel einsetzen..

ok?

14.10.2010, 16:15

ablai

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ich habe es mal nachgerechnet:
bei mir kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x²}+\frac{x}{1+x²} \end{eqnarray*}$

könnte das stimmen ?

15.10.2010, 09:34

corvus

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.

$\begin{eqnarray*} f(x)= x\cdot \sqrt{1+ x²} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ablai
ich habe es mal nachgerechnet:
bei mir kommt raus:

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = \sqrt{1+x²}+\frac{x}{1+x²} \end{eqnarray*}$

könnte das stimmen ?

................... nein !

.

15.10.2010, 14:15

hanna181

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was ist falsch daran ?

15.10.2010, 14:31

klarsoweit

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Die Produktregel. Beim 2. Summanden brauchst du x * die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ x^2} \end{eqnarray*}$ .

23.10.2010, 12:02

qOLDiiiii :)

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Okey, ich habe versucht alles zu berücksichtigen was ihr mir an Tipp usw. gesagt habt:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} 1\cdot (1+x²)^{\frac{1}{2} } + x\cdot (1+x²)^{-\frac{1}{2} } \cdot x \end{eqnarray*}$

vereinfacht:

f´ (x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x²} + \frac{x²}{\sqrt{1+x²} } \end{eqnarray*}$ dann hab ich das erweitert mit

$\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt{1+x²}}{ \sqrt{1+x²}} \end{eqnarray*}$

Ich habe als Ergebnis folgendes raus bekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+x²}\cdot x² }{\sqrt{1+x²} } \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist: Geht das noch weiter vereinfachen und wenn ja wie??

qoldi smile

smile

23.10.2010, 19:12

corvus

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Zitat:

Original von qOLDiiiii

vereinfacht:

f´ (x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x²} + \frac{x²}{\sqrt{1+x²} } \end{eqnarray*}$

dann hab ich das erweitert mit

$\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt{1+x²}}{ \sqrt{1+x²}} \end{eqnarray*}$

Ich habe als Ergebnis folgendes raus bekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+x²}\cdot x² }{\sqrt{1+x²} } \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Meine Frage ist: Geht das noch weiter vereinfachen und wenn ja wie??

gute Frage ..
bei deinen Bruchrechenkenntnissen wirst du es möglicherweise nicht sehr weit bringen..

richtig ist, dass du die beiden Brüche auf den Hauptnenner bringen solltest, wenn du
deren Summe "vereinfachen" möchtest.
und dazu musst du erweitern .. aber doch nur den ersten Summanden

also: bring den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+x²} }{1} \end{eqnarray*}$ auch auf den Nenner $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x²} \end{eqnarray*}$

und berechne dann diese Summe richtig : $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x²} + \frac{x²}{\sqrt{1+x²} } =? \end{eqnarray*}$

.

23.10.2010, 21:26

qOLDiiiii :)

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geschockt

Vielen Dank fürs Kontrollieren!!!!! smile

smile

Oke ich habe es noch einmal versucht:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+ x²} \cdot \sqrt{1+ x²} }{\sqrt{1+ x²} } + \frac{x²}{\sqrt{1+ x²} } \end{eqnarray*}$
danach:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+x²})² \cdot x²}{\sqrt{1+ x²} } \end{eqnarray*}$

Ergebnis:

f´(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1+2\cdot x²}{\sqrt{1 + x²} } \end{eqnarray*}$

qoldi smile

smile

24.10.2010, 12:03

corvus

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Zitat:

Original von qOLDiiiii
noch einmal versucht:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+ x²} \cdot \sqrt{1+ x²} }{\sqrt{1+ x²} } + \frac{x²}{\sqrt{1+ x²} } \end{eqnarray*}$
danach:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+x²})² \cdot x²}{\sqrt{1+ x²} } \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

hier ist das "mal"-Zeichen im Zähler falsch

Ergebnis:

f´(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1+2\cdot x²}{\sqrt{1 + x²} } \end{eqnarray*}$

das ist dann - oh Wunder? - wieder richtig smile

smile

Wink

24.10.2010, 12:34

qOLDiiiii :)

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geschockt

Wie/ wo müsste das ´´mal- Zeichen´´ sein??

Oke Danke smile

smile

...Naja wenn das Ergbenis stimmt smile

smile

24.10.2010, 12:44

corvus

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Zitat:

Original von qOLDiiiii
geschockt

geschockt

Wie/ wo müsste das ´´mal- Zeichen´´ sein??

also nochmal:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+ x²} \cdot \sqrt{1+ x²} }{\sqrt{1+ x²} } + \frac{x²}{\sqrt{1+ x²} } \end{eqnarray*}$
danach:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+x²})² \cdot x²}{\sqrt{1+ x²} } \end{eqnarray*}$ unglücklich
hier ist das "mal"-Zeichen im Zähler falsch

richtig müsste es heissen:

f´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{1+x²})² + x²}{\sqrt{1+ x²} } \end{eqnarray*}$

und noch dazu:
..."Naja wenn das Ergbenis stimmt " Teufel

Teufel

jetzt alles klar?

24.10.2010, 13:11

qOLDiiiii :)

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Ja

smile

Danke nochmal!!!! smile

smile

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