Frage zur grundlegenden Unterteilung von Relationen

13.10.2010, 22:06

_-Alex-_

Frage zur grundlegenden Unterteilung von Relationen

Hi,

im Mathevorkurs haben wir heute gehört, dass eine Relation refelxiv, symmetrisch, anitsymmetrisch und transitiv sein kann.

Bei einer reflexiven Relation wurde gesagt, dass alle x aus der Menge M das Paar (x,x) der Relation ergeben müssen.
Bei der Definition der anderen Eigenschaften, wurde kein "alle" benutzt.

Heißt das, dass mir bei einer Relation schon ein Paar reicht, welches z.B. die Bedingung für symmetrisch erfüllt, damit ich sagen kann die Relation ist symmetrisch?

Und bedeutet das dann, dass alle reflexiven Relationen automatisch auch antisymmetrisch sind, weil bei der Antisymmetrie folgert man ja am Schluss das x=y ist.

mfg

14.10.2010, 00:20

Quizzmaster42

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Zitat:

Heißt das, dass mir bei einer Relation schon ein Paar reicht, welches z.B. die Bedingung für symmetrisch erfüllt, damit ich sagen kann die Relation ist symmetrisch?

Nein. Bedingung für Symmetrie:
Wenn ein geordnetes Paar (a;b) Element der Relation ist, dann ist auch (b;a) Element der Relation.
Man könnte es auch so formulieren: Für alle geordneten Paare (a;b), die Element der Relation sind, ist (b;a) ebenfalls Element der Relation. So hättest du dein benötigtes "für alle" wieder darin.
Du überprüfst halt bei allen Paaren, die Element der Relation sind, ob die Implikation korrekt ist. Genau so bei antisymmetrisch und transitiv.

Zitat:

Und bedeutet das dann, dass alle reflexiven Relationen automatisch auch antisymmetrisch sind, weil bei der Antisymmetrie folgert man ja am Schluss das x=y ist.

Nein. Bedingung für Antisymmetrie:
Wenn (a;b) und (b;a) Element der Relation sind, dann ist a=b
Der Hintergedanke hinter der Antisymmetrie ist ja, dass wenn (a;b) Element der Relation ist (und a ungleich b), dann darf (b;a) nicht Element der Relation sein; D. h. salopp gesagt, Symmetrie wird bestmöglich "vermieden". Die Definition formuliert das aber anders, nämlich dass wenn es doch zu dem Fall kommt, dass beide Paare vorhanden sind, dann muss a=b sein. So kann es trotzdem noch zur Reflexivität kommen.

14.10.2010, 09:14

_-Alex-_

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Also hätte man doch in der Definition von symmetrisch und antisymmetrisch etc. auch den Allquantor benutzen müssen, so wie bei reflexiv?

14.10.2010, 09:22

Iorek

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Du musst unterscheiden worauf der Allquantor wirkt.

Reflexiv: $\begin{eqnarray*} \forall x \in M \end{eqnarray*}$ (also alle Elemente der Menge M auf der die Relation definiert ist), muss $\begin{eqnarray*} (x,x)\in R \end{eqnarray*}$ gelten

Sym.: $\begin{eqnarray*} \forall (a,b)\in R \end{eqnarray*}$ (hier sind das nur die Elemente aus R, nicht mehr aus M!) muss $\begin{eqnarray*} (b,a)\in R \end{eqnarray*}$ sein. Ähnliches für Antisym./transitiv.

Bei der Reflexivität betrachtest du die gesamte Grundmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , bei den anderen Eigenschaften interessieren dich nur die Elemente aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

14.10.2010, 18:03

_-Alex-_

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Gut danke.
Mir war vor allem das "alle" wichtig.

Noch etwas, eine reflexive Relation kann doch auch ein Paar (x,y) haben oder?
Die Definition sagt doch nicht, dass es nur Paare der Form (x,x) geben darf.

14.10.2010, 18:24

Iorek

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Ja, auch Paare (x,y) können vorkommen, die Reflexivität stellt nur die Bedingung, dass jedes Element der zugrunde liegenden Mengen in Relation zu sich selbst steht. Über Paare der Form (x,y) wird keine Aussage getroffen.

Beispiel: Betrache die kleiner-gleich Relation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Diese Relation ist reflexiv, da für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} z\leq z \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (z,z)\in R~\forall z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Aber zu gegebenem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ lassen sich natürlich noch weitere Zahlen finden, die kleiner sind ( $\begin{eqnarray*} (3,3)\in R \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 3\leq 3 \end{eqnarray*}$ aber natürlich auch $\begin{eqnarray*} (2,3)\in R \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 2\leq 3 \end{eqnarray*}$ ).

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