Zufallsvariable, Sinuswert

14.10.2010, 11:24	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable, Sinuswert Hallo zusammen! .. ich bin noch auf eine zweite Aufgabe gestossen, bei der ich seit Ewigkeiten ansteh..sie lautet wie folgt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Sinuswert sin(X) einer auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0, 2 \pi] \end{eqnarray}$ gleichverteilten Zufallsvariablen X grösser als 1/2? Gib auch die Dichte und die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable sin(X) an. Vielen lieben Dank für eure Unterstützung !
14.10.2010, 11:58	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlich wie hier, nur dass diesmal die Transformationsfunktion $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ nicht injektiv ist, was die Sache ein wenig erschwert. Am besten mal ein Bild zum Problem $\begin{eqnarray} P(\sin(X) \leq 0.5) \end{eqnarray}$ 1.Für welche $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Werte des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ liegt die rote Sinuskurve unterhalb der grünen Linie $\begin{eqnarray} 0.5 \end{eqnarray}$ ? Antwort: $\begin{eqnarray} P(X\leq \arcsin(0.5) \,\vee\, X\geq \pi-\arcsin(0.5)) \end{eqnarray}$ 2.Wie berechnet sich nun diese Wahrscheinlichkeit? Zur Erinnerung: $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist nach Voraussetzung gleichmäßig verteilt auf $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ . 3.Wie kann man das verallgemeinern für andere Niveauwerte als 0.5, erstmal für solche im Wertebereich $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ , dann aber auch $\begin{eqnarray} [-1,0] \end{eqnarray}$ ? 4.Wie sieht es für andere Niveauwerte außerhalb von $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ aus? Wenn du 2.-4. beantworten kannst, hast du die gesuchte Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Y=\sin(X) \end{eqnarray}$ . Deren Dichte ist dann einfach die Ableitung dieser Verteilungsfunktion. P.S.: Und was die allererste Frage nach $\begin{eqnarray} P(\sin(X) > 0.5) \end{eqnarray}$ betrifft: Das ist ja einfach das Gegenteil von $\begin{eqnarray} P(\sin(X) \leq 0.5) \end{eqnarray}$ .
14.10.2010, 12:14	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
..wow vielen Dank für diese Ausführungen! Soweit so gut.. ich habe nun verstanden, was zu tun ist. Nur scheitere ich noch immer an der Ausführung ..wir haben noch nie solche Aufgaben gelöst.. ich wäre wirklich dankbar, wenn du mir nachhelfen könntest. (auch wenn es nicht die Meinung ist von diesem Board..ich handhabe das ansonsten auch anders! ist mir bewusst) lieben Dank eisley
14.10.2010, 15:27	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was den Sinus anbelangt hat Rene eigentlich schon alles gesagt was es zu sagen gibt. Bzgl. Berechnung von $\begin{eqnarray} P( \sin(X) \leq 0.5) \end{eqnarray}$ Stell dir einfach mal folgende Frage: Was hat das Lebesgue-Maß mit der Gleichverteilung zu tun und was bedeutet dies für $\begin{eqnarray} P(X \leq \arcsin(0.5) \vee X \geq \pi - \arcsin(0.5)) \end{eqnarray}$ ? Bzgl. Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(z) = P( \sin(X) \leq z) \end{eqnarray}$ Eine kleine Verallgemeinerung ist das ... mehr nicht. Dichte sollte entsprechend ebenfalls klar sein. Wie gesagt ... eigentlich steht schon alles da ... mach dir einfach klar was das $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} P(X \leq \arcsin(0.5) \vee X \geq \pi - \arcsin(0.5)) \end{eqnarray}$ mit dem Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zu tun hat!

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