Distributivgesetzt mittels Axiomen herleiten

14.10.2010, 13:51

Dortmunder223

Distributivgesetzt mittels Axiomen herleiten

Hallo,

ich soll nun also folgende Rechenregel mittels den bekannten Axiomen herleiten:

x * (y-z) = x*y - x*z

Ich finde keinen passenden Ansatz.
Ich könnte x ja als -(-x) schreiben oder z als (-1)*z aber im enddefekt komme ich dann nie auf die rechte Seite raus unglücklich

Hat da vielleicht jemand einen wertvollen Tipp?

14.10.2010, 13:54

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Distributivgesetzt mittels Axiomen herleiten
welches sind denn die "bekannten axiome", also was darfst du benutzen?

14.10.2010, 13:56

Dortmunder223

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Axiome der Addition sowie Multiplikation .

14.10.2010, 14:04

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dortmunder223
Die Axiome der Addition sowie Multiplikation .

naja, da gehört das distributivgesetz ja irgendwie zu....
was darfst du genau verwenden, existenz des neutralen?
assoziativgesetz?
kommutativgesetz?
in was für einer algebra befinden wir uns, in einem ring, einem körper...?
sind + und * die verknüpfungen, die wir aus den reellen zahlen kennen?

...alles in allem sind schon nen paar informationen erforderlich, vor allem, was genau du benutzen darfst....

edit: für die natürlichen zahlen und die aus den reellen zahlen bekannte multiplikation kann man das zum beispiel mit induktion machen...

14.10.2010, 14:23

Dortmunder223

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja im Prinzip liegt genau da mein Problem , das das Distributivgesetz irgendwie dazugehört.

es handelt sich im Allgemeinen um einen Körper in in den rellen Zahlen und die genaue Aufgabe lautet :

Beweisen Sie die folgenden Rechengesetze für reelle Zahlen, d.h. leiten Sie die Rechengesetze
aus den Axiomen für reelle Zahlen her.

(x^-1)^-1 = x ist z.b kein problem , da kann ich ja einfach aufteilen und verschieben und komme am Ende auf x.

Benutzen darf ich wohl alle Axiome der addition und Multiplikation , sowie deren Folgerungen wie z.b. x^-1 *x = 1

14.10.2010, 14:35

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

dann mal los:

$\begin{eqnarray*} a \cdot (b+c)=(b+c)+(b+c)+......+(b+c) \end{eqnarray*}$ nach definition von * sind hier a summanden (b+c).
nun wenden wir das assoziativgesetz an:
$\begin{eqnarray*} a \cdot (b+c)=(b+c)+(b+c)+......+(b+c)=b+c+b+c+.......+b+c \end{eqnarray*}$ und danach das kommutativgesetz:

$\begin{eqnarray*} a \cdot (b+c)=(b+c)+(b+c)+......+(b+c)=b+c+b+c+.......+b+c=b+b+...+b+c+....+c \end{eqnarray*}$ , jedes b steht a mal da, jedes c auch, also, nach definition von *

$\begin{eqnarray*} b+b+...+b+c+....+c=a*b+a*c \end{eqnarray*}$ .

14.10.2010, 14:51

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch nicht so schwierig...
Das Distributivgesetz gehört zu den Axiomen der reellen Zahlen, das musst du nicht herleiten.
Wegen Kommutativität ist auch egal ob links- oder rechtsdistributivität vorausgesetzt wird.

Zu zeigen ist hier allerdings $\begin{eqnarray*} x \cdot (y-z) = x\cdot y - x\cdot z \end{eqnarray*}$ .
Das folgt nicht auf den ersten Blick aus der Distributivität! $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ ist eine Schreibweise für $\begin{eqnarray*} a+(-b) \end{eqnarray*}$ .
Demnach bleibt $\begin{eqnarray*} x \cdot\big(y+(-z)\big) = x\cdot y + \big(-(x\cdot z)\big) \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Folglich benutzt man die Distributivität und zeigt, dass $\begin{eqnarray*} x\cdot(-z)=-(x\cdot z) \end{eqnarray*}$ gilt.
Das düfte wiederum aus der Distributivität und der Eindeutigkeit des Inversen folgen.

Neue Frage »

Antworten »

Distributivgesetzt mittels Axiomen herleiten

Verwandte Themen