Aufgabe Vollständige Induktion

14.10.2010, 15:13

benjamin89

Aufgabe Vollständige Induktion

hallo,
hänge zur Zeit an meiner Matheübung fest. Aufgabe ist folgende:
Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit n>3 geilt:
$\begin{eqnarray*} 2^{n} < n! \end{eqnarray*}$
das habe ich bis jetzt:
induktionsanfang:
n=4
2^4 < 4!
16 < 24 w.A.

induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} 2^{n} < n! \end{eqnarray*}$

induktionsbehauptung:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} < (n+1)! \end{eqnarray*}$

induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} < (n+1)! \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^{n} + 2^{1} < (n+1) n! \end{eqnarray*}$

und jetz weiß ich nicht weiter, was ich machen soll unglücklich

wie kann ich das weiter umformen?
lg benjamin

14.10.2010, 15:22

Mulder

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RE: Aufgabe Vollständige Inudktion
Ich hoffe mal, dass das am Ende ein Tippfehler ist, und es nicht +, sondern * heißen soll, also

$\begin{eqnarray*} 2^n \cdot 2 < (n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$

Und jetzt bist du doch schon so gut wie fertig. Löse mal nach 2^n auf und schau nochmal auf deine Voraussetzungen. Insbesondere das, was du schon im Induktionsanfang gezeigt hast.

14.10.2010, 16:24

benjamin89

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oh da hab ich die potenzgesetze falsch angewandt:-[ Augenzwinkern

ok aber iwie stehe ich jetzt aufm schlauch, wie ich das auflösen soll... alles durch 2?

14.10.2010, 16:56

Mulder

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Zitat:

Original von benjamin89
ok aber iwie stehe ich jetzt aufm schlauch, wie ich das auflösen soll... alles durch 2?

Das aufzulösen darf eigentlich kein Problem sein, probier einfach mal, anstatt da jetzt jeden kleinen Zwischenschritt nachzufragen. Das kriegst du wohl hin.

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Aufgabe Vollständige Induktion

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